Reticoli isomorfi, Tori complesso e loro relazione con gli Jacobiani
Permettere $g >1$ un numero naturale e $\mathbb{C}^g$ spazio vettoriale complesso che è isomorfo a $\mathbb{R}^{2g}$ è il vero spazio vettoriale.
Un sottogruppo additivo $\Gamma \subset \mathbb{C}^g$si chiama reticolo se esiste$2g$ vettori $\gamma_1,... \gamma_{2g}$, che sono linearmente indipendenti su $\mathbb{R}$ tale che $\Gamma= \mathbb{Z} \gamma_1 + ... + \mathbb{Z} \gamma_{2g}$.
Permettere $\Gamma, \Gamma' \subset \mathbb{C}^g$ essere due reticoli con $\Gamma= \mathbb{Z} \gamma_1 + ... + \mathbb{Z} \gamma_{2g}$ e $\Gamma'= \mathbb{Z} \gamma' _1 + ... + \mathbb{Z} \gamma' _{2g}$. C'è una caratterizzazione quando due gruppi di quozienti$\mathbb{C}^g / \Gamma$ e $\mathbb{C}^g / \Gamma'$ sono isomorfi come gruppi abeliani in dipendenza di una certa relazione tra reticoli $\Gamma$ e $\Gamma'$?
La mia prima ipotesi è stata $\mathbb{C}^g / \Gamma \cong \mathbb{C}^g / \Gamma'$ se e solo se esiste un file $M \in GL_{2g}(\mathbb{Z})$ con $M \cdot \Gamma = \Gamma' $ e $M \cdot \gamma_i = \gamma_i '$. O dovrei richiederlo inoltre$M$ vive a $O_{2g}(\mathbb{Z})$, $O_{2g}(\mathbb{Z})$ o anche una matrice scalare $c \cdot Id$ con $c \in \mathbb{C} \backslash \{0\}$?
La mia motivazione è la mia domanda sulle superfici Jacobians of Riemann dalle Lectures on Riemann Surfaces di Forster. Abbiamo una superficie Riemann compatta$X$ di genere $g$ e la costruzione di Forster del giacobiano $Jac(X)$ si basa su una scelta di base esplicita $\omega_1,..., \omega_g$ del $\mathbb{C}$-spazio di olomorfo $1$-forme $\Omega (X)$. Forster mostra che il sottospazio di$\mathbb{C}^g$ costituito da tutti i vettori
$$(\int_{\alpha} \omega_1, \int_{\alpha} \omega_2, ... \int_{\alpha} \omega_g)$$
dove $α$ percorre il gruppo fondamentale $\pi(X)$ formare un reticolo $\Gamma= \mathbb{Z} \gamma_1 + ... + \mathbb{Z} \gamma_{2g} \operatorname{Per}(\omega_1,..., \omega_g) \subset \mathbb{C}^{g}$ e Jacobian è definito da $Jac(X):= \mathbb{C}^g/ \operatorname{Per}(\omega_1,..., \omega_g)$. A prima vista questa definizione sembra essere negativa a causa di una scelta della base$\omega_1,..., \omega_g$. Ma Forster ha osservato anche senza fornire una prova che una scelta di una base diversa porta a un isomorfo$Jac(X)$.
Cioè devo sapere in primo luogo quando due quozienti $\mathbb{C}^g / \Gamma$ e $\mathbb{C}^g / \Gamma'$ con reticoli $\Gamma$ e $\Gamma'$ sono considerati come gruppi abeliani isomorfi (presumo che Forster non li consideri inoltre come varietà complesse compatte, o quale tipo di isomorfismo considera Forster) e perché la scelta di basi diverse 'dà Jacobiani isomorfi?
Risposte
Un modo per descrivere il risultato unidimensionale è dire che se $f: X\to X'$ è una mappa biolomorfa di due curve ellittiche $X={\mathbb C}/\Gamma, X'= {\mathbb C}/\Gamma'$, poi:
Ogni ascensore $F$ di $f$ per ${\mathbb C}$ è una mappa complesso-affine invertibile $z\mapsto az+b$, equivariante rispetto a un isomorfismo di gruppi abeliani liberi $\phi: \Gamma\to \Gamma'$, cioè: $$ F\circ \gamma= \phi(\gamma)\circ F, \forall \gamma\in \Gamma. $$
Al contrario, ogni mappa affine $F$ come sopra discende ad una mappa biolomorfa $f: X\to X'$.
Esattamente lo stesso funziona nelle dimensioni superiori quando $\Gamma, \Gamma'$ sono reticoli in ${\mathbb C}^n$, tranne, ovviamente, le mappe affini complesse invertibili sono fornite da $$ z\mapsto Az + b, A\in GL(n, {\mathbb C}), b\in {\mathbb C}^n. $$ Una prova è piuttosto semplice: Lift $f: X\to X'$ a una mappa biolomorfa $$ F: {\mathbb C}^n\to {\mathbb C}^n $$ che è quindi equivariante rispetto a un isomorfismo $\phi: \Gamma\to \Gamma'$, $$ F\circ \gamma \circ F^{-1}= \phi(\gamma), \forall \gamma\in \Gamma. $$
Differenziare la condizione di equivarianza $$ F\circ \gamma= \phi(\gamma)\circ F, \forall \gamma\in \Gamma, $$ usando la Regola della Catena lo otteniamo $$ DF \circ \gamma= DF, \forall \gamma\in \Gamma. $$ Quindi, il derivato giacobiano $DF$ è un $\Gamma$-mappatura olomorfa invariante ${\mathbb C}^n\to {\mathbb C}^n$, quindi, discende in una mappa olomorfa $X\to {\mathbb C}^n$, che poi deve essere costante per la compattezza di $X$. Quindi, la mappa$z\mapsto DF(z)$è anche costante. In altre parole,$F$è una mappa affine complessa. qed
Tradizionalmente, la condizione di equivarianza è scritta nella sua forma matriciale, scegliendo una base libera di $\Gamma$ e specificando la sua immagine in $\Gamma'$ sotto $\phi$. Sentiti libero di riscrivere le equazioni di cui sopra allo stesso modo, personalmente, non mi piace poiché dipende da scelte ausiliarie.