Ricerca del prodotto tensoriale [duplicato]

Question

Permettere $\Pi_{n\in \mathbb{N}}\mathbb{Z}:= M$

È $ M \otimes_{\mathbb{Z}} \mathbb{Q} \cong \Pi_{n\in \mathbb{N}}\mathbb{Q}$? Credo che questo sia vero ma non so come dimostrarlo.

Gentilmente aiutami con un'idea / suggerimento.

Grazie in anticipo.

Answer 1

È falso. C'è una mappa naturale

$$\left( \prod_{\mathbb{N}} \mathbb{Z} \right) \otimes \mathbb{Q} \to \prod_{\mathbb{N}} \mathbb{Q}$$

che è iniettiva ma non suriettiva. La sua immagine è costituita dal sottospazio di$\prod_{\mathbb{N}} \mathbb{Q}$ consistenti di sequenze i cui denominatori sono limitati, o equivalentemente che possono essere posti sotto un denominatore comune (fondamentalmente perché tensorizzare $\mathbb{Q}$ consente solo di dividere un'intera sequenza intera per un denominatore comune) e quindi non contiene, ad esempio, la sequenza $n \mapsto \frac{1}{n}$.

(D'altra parte questi gruppi sono astrattamente isomorfi perché sono entrambi spazi vettoriali sopra $\mathbb{Q}$di dimensione continua. Vedi questa risposta matematica.SE che dice fondamentalmente la stessa cosa.)

In generale, il prodotto tensore è garantito solo per preservare prodotti finiti. Puoi dimostrare che la tensorizzazione con un modulo preserva infiniti prodotti se e solo se presentata in modo finito (quale$\mathbb{Q}$non è); vedi questa risposta matematica .