Ridurre la forma quadratica di$3$variabili alla somma di 3 quadrati

Aug 22 2020

Ho a che fare con la seguente forma quadratica:$q:\mathbb{R}^3\rightarrow \mathbb{R}$ $$ q(x,y,z)=xy+yz+xz $$e sto cercando di ridurlo alla somma dei quadrati. Mi avvicino a questo cercando di eliminare una variabile. Dato che è tutto simmetrico, diciamo che eliminiamo$x$. procedo:$$ q=x(y+z)+yz=\bigg(x^2+x(y+z)+\bigg(\frac{y+z}{2}\bigg)^2 \bigg)-x^2-\bigg(\frac{y+z}{2}\bigg)^2+yz$$che... non funziona, visto che c'è ancora tutto$x,y,z$. Semplicemente, per qualsiasi variabile$a$non ci sono due termini:$a^2$e$ab$(per qualche altra variabile$b$) quindi non sono in grado di semplificarlo in un quadrato in questo modo. Come affrontare questo?

Risposte

3 GreginGre Aug 22 2020 at 20:37

Come disse Ben Grossmann,$q$non è una somma di quadrati, ma si può sempre scrivere come$\sum_i \alpha_i \varphi_i^2$dove$\alpha_i\neq 0$e$\varphi_i$è una forma lineare.

Tuttavia, sei nel brutto caso (il caso in cui non ci sono termini al quadrato). Il trucco è scegliere due variabili (diciamo$x$e$y$), isolare tutti i termini contenenti almeno una delle due variabili , scriverlo sotto la forma$A [xy+B(z)x+C(z)y]$, dove$A$è una costante diversa da zero, e$B,C$sono termini in$z$solo, quindi "completa il prodotto" e utilizza l'identità$uv=\dfrac{1}{4}((u+v)^2-(u-v)^2)$.

Per te esempio$q(x,y,z)= 1. xy + z.x+z.y= (x+z)(y+z)-z^2=\dfrac{1}{4}(x+y+2z)^2-\dfrac{1}{4}(x-y)^2-z^2$.

Questo approccio può essere generalizzato a un numero arbitrario di variabili.