Righe su un K3 anticanonico su un Fano 3 volte

Question

Permettere$Y_d$essere un Fano triplo di rango piccardo$1$e indice$2$(es. cubico 3 volte). Esiste una mappa anticanonica naturale$Y_d\to \mathbb{P}^{d+1}$. Le sezioni lisce del fascio anticanonico sono$K3$superfici, quindi possiamo chiedere quanto segue

Domanda: fa un tale generale$K3$la superficie contiene linee all'interno$\mathbb{P}^{d+1}$?

Answer 1

Se$Y$è un Fano triplo con rango Picard$1$, quindi il suo elemento anticanonico generale$X \in |-K_Y|$è un$K3$superficie con rango Picard$1$. In particolare,$X$non contiene righe.

Questo è spiegato (ad esempio) a p. 797 di

CF Doran, A. Harder, AY Novoseltsev, A. Thompson: Calabi – Yau triplicato da superfici K3 polarizzate reticolari di alto rango , Mathematische Zeitschrift 294 (2020).