Risoluzione di un sistema accoppiato di ODE lineari (un secondo ordine, l'altro del primo ordine)

Aug 20 2020

Ho due ODE accoppiate per $T(x)$ e $t(x)$:

$$\frac{d^2 T(x)}{d x^2}-\beta (T(x)-t(x))+K=0 \tag 1$$

$$\frac{d t(x)}{dx}-\alpha(T(x)-t(x))=0 \tag 2$$

$\alpha, \beta$ e $K$ sono costanti $>0$. Inoltre, è noto che$t(x=0)=t_i$. Inoltre, per$(1)$ sappiamo:

$$\frac{d T(x=0)}{d x}=\frac{d T(x=L)}{d x} = 0$$

Ho bisogno di determinare $T(x)$ e $t(x)$. Qualcuno può suggerire un modo per andare avanti con questo problema?

Probabilmente questo sistema di equazioni accoppiate può essere risolto usando il metodo delle matrici, ma non ne sono a conoscenza. Normalmente risolvo una singola equazione usando il metodo dell'integrazione del fattore o usando un'equazione caratteristica e trovando le radici.

Risposte

6 JJacquelin Aug 20 2020 at 07:16

$$\frac{d^2 T(x)}{d x^2}-\beta (T(x)-t(x))+K=0 \tag 1$$

$$\frac{d t(x)}{dx}-\alpha(T(x)-t(x))=0 \tag 2$$

SUGGERIMENTO:

A partire dal $(2) \qquad T=\frac{1}{\alpha}\frac{d t}{dx}+t$

$\frac{d^2T}{dx^2}=\frac{1}{\alpha}\frac{d^3t}{dx^3}+\frac{d^2t}{dx^2}$

Mettendoli in $(1)$ :

$\frac{1}{\alpha}\frac{d^3t}{dx^3}+\frac{d^2t}{dx^2}-\frac{\beta}{\alpha}\frac{d t}{dx} +K=0$

$$\frac{d^3t}{dx^3}+\alpha\frac{d^2t}{dx^2}-\beta\frac{d t}{dx} +\alpha K=0$$Questa è una ODE lineare con coefficienti costanti. Suppongo che tu possa prenderlo da qui.

3 Tortar Aug 20 2020 at 07:14

Suggerimento:

Sostituto $T(x)=\frac{1}{\alpha}\frac{d t(x)}{dx}+t(x)$ in $(1)$ :

$$ \frac{1}{\alpha}\frac{d^3t(x)}{dx^3}+\frac{d^2t(x)}{dx^2}-\frac{\beta}{\alpha}\frac{d t(x)}{dx} +K = 0$$

Quindi risolvi per $\frac{dt(x)}{dx}$.