Risoluzione di un sistema accoppiato di ODE lineari (un secondo ordine, l'altro del primo ordine)
Ho due ODE accoppiate per $T(x)$ e $t(x)$:
$$\frac{d^2 T(x)}{d x^2}-\beta (T(x)-t(x))+K=0 \tag 1$$
$$\frac{d t(x)}{dx}-\alpha(T(x)-t(x))=0 \tag 2$$
$\alpha, \beta$ e $K$ sono costanti $>0$. Inoltre, è noto che$t(x=0)=t_i$. Inoltre, per$(1)$ sappiamo:
$$\frac{d T(x=0)}{d x}=\frac{d T(x=L)}{d x} = 0$$
Ho bisogno di determinare $T(x)$ e $t(x)$. Qualcuno può suggerire un modo per andare avanti con questo problema?
Probabilmente questo sistema di equazioni accoppiate può essere risolto usando il metodo delle matrici, ma non ne sono a conoscenza. Normalmente risolvo una singola equazione usando il metodo dell'integrazione del fattore o usando un'equazione caratteristica e trovando le radici.
Risposte
$$\frac{d^2 T(x)}{d x^2}-\beta (T(x)-t(x))+K=0 \tag 1$$
$$\frac{d t(x)}{dx}-\alpha(T(x)-t(x))=0 \tag 2$$
SUGGERIMENTO:
A partire dal $(2) \qquad T=\frac{1}{\alpha}\frac{d t}{dx}+t$
$\frac{d^2T}{dx^2}=\frac{1}{\alpha}\frac{d^3t}{dx^3}+\frac{d^2t}{dx^2}$
Mettendoli in $(1)$ :
$\frac{1}{\alpha}\frac{d^3t}{dx^3}+\frac{d^2t}{dx^2}-\frac{\beta}{\alpha}\frac{d t}{dx} +K=0$
$$\frac{d^3t}{dx^3}+\alpha\frac{d^2t}{dx^2}-\beta\frac{d t}{dx} +\alpha K=0$$Questa è una ODE lineare con coefficienti costanti. Suppongo che tu possa prenderlo da qui.
Suggerimento:
Sostituto $T(x)=\frac{1}{\alpha}\frac{d t(x)}{dx}+t(x)$ in $(1)$ :
$$ \frac{1}{\alpha}\frac{d^3t(x)}{dx^3}+\frac{d^2t(x)}{dx^2}-\frac{\beta}{\alpha}\frac{d t(x)}{dx} +K = 0$$
Quindi risolvi per $\frac{dt(x)}{dx}$.