Risolvendo $\left(\frac{x}{10}\right)^{\log(x)-2}<100$

Aug 22 2020

Come risolvere la seguente disuguaglianza? $$\left(\frac{x}{10}\right)^{\log(x)-2}<100$$ La soluzione data è $x\in(1, 1000)$

Ho considerato alcune cose nella mia soluzione, ma non sono riuscito a ottenere la soluzione al problema. Vorrei sapere se queste ipotesi erano sbagliate.

Per prima cosa, ho considerato $$\log(x)-2 \implies \log(x)-\log(100) \implies \log\left(\frac{x}{100}\right)$$

Ho proceduto $$\left(\frac{x}{10}\right)^{\log(x)-2}<100 \Longleftrightarrow \left(\frac{x}{10}\right)^{\log\left(\frac{x}{100}\right)}<100 \Longleftrightarrow \frac{x^{\log(\frac{x}{100})}}{\frac{x}{100}}<100 \Longleftrightarrow \frac{100x^{\log(\frac{x}{100})}}{x}<100$$

A partire dal $\log(x), x>0$, quindi posso moltiplicare entrambi i lati per $x$ $$x^{\log(\frac{x}{100})}<x \Longleftrightarrow \log \left(\frac{x}{100}\right)<1 \Longleftrightarrow \frac{x}{100}<10 \Longleftrightarrow \boxed{x<1000}$$

Risposte

3 BrianMoehring Aug 23 2020 at 03:26

Più direttamente, si può scrivere la sequenza di disequazioni equivalenti $$10^{(\log(x)-1)(\log(x)-2)} = \left(\frac{x}{10}\right)^{\log(x)-2}<100=10^2 \\ (\log(x)-1)(\log(x)-2) < 2 \\ \log(x)(\log(x)-3) < 0 \\ 0 < \log(x) < 3 \\ 1 < x < 1000$$


Per quanto riguarda la tua soluzione, va bene fino a $$x^{\log(\frac{x}{100})}<x \Longleftrightarrow \log \left(\frac{x}{100}\right)<1$$ che è vero solo per $x>1$. Se invece$0<x<1$, allora avremmo $$x^{\log(\frac{x}{100})}<x \Longleftrightarrow \log \left(\frac{x}{100}\right)>1$$

2 ClaudeLeibovici Aug 23 2020 at 08:39

Considera il caso più generale di $$\left(\frac{x}{10}\right)^{\log(x)-2}=k$$ Permettere $x=e^{y+2}$ che fa sì che sia $$10^{-y} \exp(y^2+2y)=\exp[y^2-(\log(10)-2)y]$$ Quindi, affronti un'equazione quadratica $$y^2-(\log(10)-2)y-\log(k)=0$$

Risolvilo per $y$ e una volta fatto, riutilizzalo $x=e^{y+2}$.

Per $k=100$, questo dovrebbe dare $x_{max}=73.89$.