Risultati diversi in DEigensystem rispetto a NDEigensystem per il problema degli autovalori laplaciani (-Δu = λu) sull'unità quadrata

Aug 21 2020

Voglio calcolare la soluzione al problema degli autovalori laplaciani sul quadrato unitario con condizioni al contorno di Dirichlet banali: $$- \Delta u(x,y) = \lambda u(x,y) \text{ on } {[0,1]}^2$$ con $u(0,y)=0$,$u(1,y)=0$,$u(x,0)=0$,$u(x,1)=0$.

Tuttavia, Mathematica 12 riporta diverse autofunzioni quando si utilizza NDEigensystem rispetto a DEigensystem utilizzando i seguenti codici:

Versione DEigensystem:

{vals, funs} = 
DEigensystem[{-Laplacian[u[x, y], {x, y}], 
DirichletCondition[u[x, y] == 0, True]}, 
u[x, y], {x, y} ∈ Rectangle[], 2];
Table[ContourPlot[funs[[i]], {x, y} ∈ Rectangle[], 
PlotRange -> All, PlotLabel -> vals[[i]], PlotTheme -> "Minimal", 
Axes -> True], {i, Length[vals]}]

Versione NDEigensystem:

{vals, funs} = 
NDEigensystem[{-Laplacian[u[x, y], {x, y}], 
DirichletCondition[u[x, y] == 0, True]}, 
u[x, y], {x, y} ∈ Rectangle[], 2, 
Method -> {"PDEDiscretization" -> {"FiniteElement", 
"MeshOptions" -> {"MaxCellMeasure" -> 0.0001}}}];
Table[ContourPlot[funs[[i]], {x, y} ∈ Rectangle[], 
PlotRange -> All, PlotLabel -> vals[[i]], PlotTheme -> "Minimal", 
Axes -> True], {i, Length[vals]}]

Per la seconda autofunzione, DEigensystemriporta la classica autofunzione da manuale, mentre la soluzione numerica con NDEigensystemè fondamentalmente diversa, sebbene la discretizzazione della mesh sia impostata su un valore molto piccolo.

Perché?

Risposte

5 lamBOO Aug 24 2020 at 20:48

Come già sottolineato nei commenti di @march e @xzczd, il secondo stato più basso con autovalore $\lambda_{1,2} = \lambda_{2,1} = 5 \pi^2$ è doppiamente degenere.

DEigensystem

NDEigensystem

Ciò significa che le corrispondenti autofunzioni non sono solo determinate fino a un ridimensionamento (come per lo stato più basso). Sono piuttosto determinati ad essere una base ortogonale dell'autospazio

$$ E_{5 \pi^2} = \{a \phi_{1,2} + b \phi_{2,1} \mid a,b \in \mathbb{R}, \, -\Delta \phi_{1,2} = 5 \pi^2 \phi_{1,2}, \, -\Delta \phi_{2,1} = 5 \pi^2 \phi_{2,1}, \, \phi_{1,2} \perp \phi_{2,1}\} $$

abbiamo $\text{dim}(E_{5 \pi^2}) = 2$. I risultati di NDEigensystem($\phi_{1,2,\text{ND}}, \phi_{2,1,\text{ND}}$) sono quindi soluzioni valide anche perché abbracciano lo stesso autospazio:

$$ E_{5 \pi^2} = \text{span}\{\phi_{1,2,\text{NDEigen}}, \phi_{2,1,\text{NDEigen}}\} \\ = \text{span}\{\phi_{1,2,\text{DEigen}}, \phi_{2,1,\text{DEigen}}\} \\ = \text{span}\{\sin(1 \pi x)\sin(2 \pi y), \sin(2 \pi x)\sin(1 \pi y)\} $$