Risultati diversi in DEigensystem rispetto a NDEigensystem per il problema degli autovalori laplaciani (-Δu = λu) sull'unità quadrata
Voglio calcolare la soluzione al problema degli autovalori laplaciani sul quadrato unitario con condizioni al contorno di Dirichlet banali: $$- \Delta u(x,y) = \lambda u(x,y) \text{ on } {[0,1]}^2$$ con $u(0,y)=0$,$u(1,y)=0$,$u(x,0)=0$,$u(x,1)=0$.
Tuttavia, Mathematica 12 riporta diverse autofunzioni quando si utilizza NDEigensystem rispetto a DEigensystem utilizzando i seguenti codici:
Versione DEigensystem:
{vals, funs} =
DEigensystem[{-Laplacian[u[x, y], {x, y}],
DirichletCondition[u[x, y] == 0, True]},
u[x, y], {x, y} ∈ Rectangle[], 2];
Table[ContourPlot[funs[[i]], {x, y} ∈ Rectangle[],
PlotRange -> All, PlotLabel -> vals[[i]], PlotTheme -> "Minimal",
Axes -> True], {i, Length[vals]}]

Versione NDEigensystem:
{vals, funs} =
NDEigensystem[{-Laplacian[u[x, y], {x, y}],
DirichletCondition[u[x, y] == 0, True]},
u[x, y], {x, y} ∈ Rectangle[], 2,
Method -> {"PDEDiscretization" -> {"FiniteElement",
"MeshOptions" -> {"MaxCellMeasure" -> 0.0001}}}];
Table[ContourPlot[funs[[i]], {x, y} ∈ Rectangle[],
PlotRange -> All, PlotLabel -> vals[[i]], PlotTheme -> "Minimal",
Axes -> True], {i, Length[vals]}]

Per la seconda autofunzione, DEigensystem
riporta la classica autofunzione da manuale, mentre la soluzione numerica con NDEigensystem
è fondamentalmente diversa, sebbene la discretizzazione della mesh sia impostata su un valore molto piccolo.
Perché?
Risposte
Come già sottolineato nei commenti di @march e @xzczd, il secondo stato più basso con autovalore $\lambda_{1,2} = \lambda_{2,1} = 5 \pi^2$ è doppiamente degenere.
DEigensystem

NDEigensystem

Ciò significa che le corrispondenti autofunzioni non sono solo determinate fino a un ridimensionamento (come per lo stato più basso). Sono piuttosto determinati ad essere una base ortogonale dell'autospazio
$$ E_{5 \pi^2} = \{a \phi_{1,2} + b \phi_{2,1} \mid a,b \in \mathbb{R}, \, -\Delta \phi_{1,2} = 5 \pi^2 \phi_{1,2}, \, -\Delta \phi_{2,1} = 5 \pi^2 \phi_{2,1}, \, \phi_{1,2} \perp \phi_{2,1}\} $$
abbiamo $\text{dim}(E_{5 \pi^2}) = 2$. I risultati di NDEigensystem
($\phi_{1,2,\text{ND}}, \phi_{2,1,\text{ND}}$) sono quindi soluzioni valide anche perché abbracciano lo stesso autospazio:
$$ E_{5 \pi^2} = \text{span}\{\phi_{1,2,\text{NDEigen}}, \phi_{2,1,\text{NDEigen}}\} \\ = \text{span}\{\phi_{1,2,\text{DEigen}}, \phi_{2,1,\text{DEigen}}\} \\ = \text{span}\{\sin(1 \pi x)\sin(2 \pi y), \sin(2 \pi x)\sin(1 \pi y)\} $$