Ruolo della monotonia nelle successioni a variazione limitata.
Aug 16 2020
Richiama questo; Una sequenza$\left\{x_{n}\right\}$dei numeri reali si dice a variazione limitata se l'eries$$ \sum_{k=2}^{\infty}\left|x_{k}-x_{k-1}\right| $$converge.
Sappiamo che la sequenza convergente non deve necessariamente essere una sequenza di variazione limitata prendendo$x_n=\frac{1}{n}$per pari$n$e$0$per dispari$n$. Ma per quanto riguarda le sequenze convergenti monotone? Sono sequenze di variazione limitata? Se sì, come dimostrarlo?
Risposte
4 ArcticChar Aug 16 2020 at 16:52
Suggerimento: se$\{x_n\}$sta aumentando,
$$\sum_{k=2}^n |x_k - x_{k-1}| = \sum_{k=2}^n x_k - x_{k-1} = x_n - x_1.$$