Se $A$ è noetheriano, quindi ogni ideale frazionario è della forma $x^{-1} \frak{a}$ per qualche ideale $\frak{a}$ di $A$

Question

[Dichiarazione] Se $A$ è noetheriano, quindi ogni ideale frazionario è della forma $x^{-1} \frak{a}$ per qualche ideale $\frak{a}$ di $A$, $x \in A$.

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[Tentativo]

Lo trovo in Algebra commutativa di Atiyah Macdonald, Capitolo 9, pagina 96, Ideali frazionari.

Dicono se $A$ è noetheriano, quindi ogni ideale frazionario è della forma $x^{-1} \frak{a}$ per qualche ideale $\frak{a}$ di $A$, $x \in A$ quindi ogni ideale frazionario è generato finitamente.

Va bene "quindi ogni ideale frazionario è generato finitamente" perché $A$ è noetheriano così ideale $\frak{a}$ è finitamente generato.

Tuttavia, come mostrare la dichiarazione di cui sopra?

Permettere $M$essere frazionario ideale. Quindi per definizione, c'è$\frac{b}{a} \in K:=\text{Frac}(A)$ tale che $\frac{a}{b} M \subseteq A $, così $M \subseteq \frac{b}{a}A$.

Qual è il passaggio successivo?

Answer 1

Permettere $\{m_i\}_{i\in I}$ creare $M$ come un $A$-modulo. Quindi come$m_i A\subseteq M\subseteq\frac{b}{a}A,$ ne consegue che $m_i\in\frac{b}{a}A.$ Quindi, per ciascuno $i,$ possiamo scrivere $$m_i = \frac{b_i}{a},$$ con $b_i\in A.$ Questo implica che \begin{align*} M &= \sum_{i\in I} m_i A\\ &=\sum_{i\in I}\frac{b_i}{a}A\\ & = \frac{1}{a}\sum_{i\in I}b_i A. \end{align*} Ma ora $\sum_{i\in I}b_i A$ è semplicemente l'ideale di $A$ generato dal $b_i,$ quindi abbiamo finito.