Se $A$ è un sottoinsieme della linea reale $\mathbb R$ e $\mathbb Q \subseteq A$ quale delle seguenti affermazioni deve essere vera?

Aug 20 2020

Se $A$ è un sottoinsieme della linea reale $\mathbb R$ e $A$ contiene ogni numero razionale, quale delle seguenti deve essere vera?

(a) Se $A$ è aperto, quindi $A = \mathbb R$.

(b) Se $A$ è chiuso, quindi $A = \mathbb R$.

(c) Se $A$ è innumerevole, quindi $A = \mathbb R$.

(d) Se $A$ è innumerevole, quindi $A$ è aperto.

(e) Se $A$ è numerabile, quindi $A$ è chiuso.

Il mio approccio:

(a) Falso. $A$ si potrebbe dire $\mathbb R\setminus \{\sqrt{2}\}$ che è aperto in quanto è fondamentalmente l'unione di due set aperti $(-\infty, \sqrt 2) \cup (\sqrt 2, \infty)$.

(b) Vero. $\bar {\mathbb Q}$ è il più piccolo insieme chiuso contenente $\mathbb Q$. E lo sappiamo$\bar {\mathbb Q} = \mathbb R$. Quindi se$A$ è chiuso, quindi $A = \bar A = \mathbb R$. Non potrebbe essere più grande di$\mathbb R$.

(c) Falso. $\mathbb R \setminus \{\sqrt{2}\}$ contiene $\mathbb Q$ ma è innumerevole.

(d) Non ne sono sicuro, ma penso che sia falso. Qualcuno potrebbe fornire un esempio esplicito di un insieme innumerevole$A$ contenente $\mathbb Q$ quello è aperto?

(e) Falso. Un controesempio è$\mathbb Q$si. Lo sappiamo$\mathbb Q$è né aperta né chiusa in$\mathbb R$.

Risposte

4 BrianM.Scott Aug 20 2020 at 01:59

Penso che per (d) tu voglia davvero un set innumerevole $A$ contenente $\Bbb Q$quello non è aperto. Uno è facile$[0,1]\cup\Bbb Q$. (In (a) hai già fornito un esempio di uno che è aperto.)

Le altre tue risposte sono corrette.