Se analitico$f$soddisfa una di queste due condizioni, allora è costante

Question

Sto provando le domande di assegnazione di un istituto in cui non studio. Sono colpito da questi 2.

1. Se$f$è una funzione differenziabile da una regione$X$in$\mathbb{C}$in$\mathbb{R}$prova che$f$è necessariamente una costante.

2. Se$f$e$\bar {f}$sono entrambi analitici in una regione$X$dimostrare che sono costanti sulla regione$X$.

Tentativi:

1. La regione è sempre aperta. Quindi, gamma di$f$deve essere aperto (teorema della mappatura aperta) ma$\mathbb{R}$non è aperto$\mathbb{C}$anche se è un singleton come complemento di$\{x\}$non è chiuso. Quindi, sono confuso su come posso provare l'affermazione.

2. Per 2 non ho nulla da mostrare perché sono davvero confuso su quale risultato utilizzare a causa di$\bar{f}$in questione.

Gentilmente aiuto.

Answer 1

La tua dimostrazione per 1) è corretta. Per 2), se entrambi$f$e$\bar{f}$sono olomorfi (differenziabili), allora lo sono anche$\mathrm{Re}(f)$e$\mathrm{Im}(f)$, eppure le loro gamme risiedono$\Bbb{R}$. Per quello che hai dimostrato in 1), entrambi devono essere costanti, quindi$f$è costante.