Se due variabili casuali $X_1$ e $X_2$ sono dipendenti quindi devono $X_1^2$ e $X_2^2$ essere dipendente?

Question

Se due variabili casuali $X_1$ e $X_2$ sono quindi dipendenti $X_1^2$ e $X_2^2$ essere dipendente.

Credo che questa affermazione sia falsa. Considerando che$X_1$ e $X_2$ essere dipendenti implica

$\sigma(X_1)$ dipende da $\sigma(X_2)$ cioè le algebre sigma generate da ogni rv sono dipendenti, ma da allora $\sigma(X_1^2)\subset \sigma(X_1)$ e $\sigma(X_2^2)\subset \sigma(X_2)$ la riduzione potrebbe potenzialmente portare ad algebre sigma indipendenti.

Il contro esempio che mi è venuto in mente è

permettere:

$X_1\sim \text{Unif}(0,1)$ e $$ X_2|X_1 = \begin{cases} 1 & X_1\in[0,\frac{1}{2})\\ -1 & X_1\in[\frac{1}{2},1]\\ \end{cases}$$

Nota che queste due variabili casuali sono altamente dipendenti, ma quando le quadretto entrambe $X_1\sim \frac{1}{2\sqrt{x_1}}$ e $X_1|X_1=1$quindi le due variabili casuali al quadrato sono indipendenti. Questo controesempio è un suono?

Answer 1

Il tuo controesempio funziona, pensato dal tuo $X_2^2$ è costante non è molto rivelatore, in quanto è indipendente da tutto

Un altro potrebbe essere avere $A$ e $B$ indipendentemente standard normale (media $0$, varianza $1$) e

$X_1=A$ mentre $X_2=\text{sign}(A)\, |B|$.

Poi $X_1$ e $X_2$ sono distribuzioni normali positivamente correlate mentre $X_1^2$ e $X_2^2$ sono distribuzioni chi quadrato indipendenti