Se$f$è continuo$[a,b]$, poi$f$è delimitato$[a,b]$. Domande sulla prova alternativa.
Di seguito è una prova che ho trovato su Internet:

Ecco le mie domande: Se$f$è definito come sopra, significato$f$è definito per tutti$x ∈ K$Questo non lo implica direttamente$f$deve essere limitato per tutti$x ∈ K$in quell'intervallo? Da$f(x) = ∞$o$f(x) = -∞$non possono essere valori validi da avere nell'intervallo di qualsiasi funzione? Immagino che sia quello che stanno dicendo al passo$\lim_{i\to ∞}f(x_{n_{i}})=f(x)$, ma perché fare tutto il lavoro prima e dopo se hai intenzione di fare questa discussione? Inoltre, se ho ragione, il mio risultato è più generale del risultato del teorema poiché se f è definito in qualsiasi insieme compatto ciò deve significare che f è limitato (poiché$∞$e$-∞$non sono valori validi da avere nell'intervallo di qualsiasi funzione) ma non deve significare questo$f$è continuo. Ci sono difetti con la mia prova?
Risposte
Stai fraintendendo la definizione di "limitato". Dimentica la continuità/compattezza per il momento. Permettere$X$essere un insieme non vuoto,$f:X\to \Bbb{R}$una funzione e consideriamo le seguenti due affermazioni:
Per ogni$x\in X$,$f(x)$è finito (es$f(x)\in \Bbb{R}$... anche comunemente scritto come$|f(x)|<\infty$)
Esiste un numero$M>0$tale che per ogni$x\in X$,$|f(x)| < M$
Aggiungendo la frase qualificante "esiste un numero$M>0$" cambia l'intero significato della frase.
Si noti che poiché la funzione$f:X\to \Bbb{R}$ha$\Bbb{R}$come spazio bersaglio, la prima affermazione è sempre vera, per una ragione molto banale, motivo per cui non ha un nome speciale. La seconda affermazione dice qualcosa di molto diverso, e in effetti è un'affermazione molto più forte. La definizione di "$f:X\to \Bbb{R}$è limitato" è la seconda affermazione.
Gemetricamente, la differenza è chiara se si considera$X= \Bbb{R}$e$f(x) = e^x$e$g(x) = \arctan(x)$; prova a tracciare i grafici di queste due funzioni e prova a capire perché$f$non è limitato, mentre$g$è limitato.
Un corollario del teorema che hai postato è questo
Se$K$è uno spazio metrico compatto,$f:K\to \Bbb{R}$è una funzione continua, allora$f$è limitato. Più esplicitamente, intendiamo dire che esiste un numero$M>0$tale che per tutti$x\in K$,$|f(x)|<M$.
che ancora una volta è un'affermazione completamente diversa da (l'affermazione completamente banale che) "per ogni$x\in K$,$f(x)$è finito".