Se$f$ha un polo di ordine$m$a$z_0$, poi$\frac{1}{f}$ha una singolarità rimovibile a$z_0$.

Question

Lo dice il mio libro di testo

• Se$f$ha un polo di ordine$m$a$z_0$, poi$\frac{1}{f}$ha una singolarità rimovibile a$z_0$, e se definiamo$(\frac{1}{f})(z_0) = 0$, poi$\frac{1}{f}$ha uno zero di ordine$m$a$z_0$.

Ma lo sto pensando, da allora$f = \frac{g(z)}{(z-z_0)^m}$dove$g(z)$è analitico e diverso da zero at$z_0$,$\frac{1}{f}$, che è uguale a$\frac{(z-z_0)^m}{g(z)}$, è sicuramente analitico a$z_0$e ha uno zero di ordine$m$a$z_0$. Se è analitico a$z_0$, poi$z_0$non può essere un punto di singolarità.

Perché il mio libro di testo dice$z_0$è una singolarità rimovibile e definire$(\frac{1}{f})(z_0) = 0$?

Answer 1

La tua funzione$\frac{1}{f}$è definito solo su un intorno di$z_0$che esclude$z_0$quindi devi davvero definirlo. Infatti,$\frac{1}{f}= \frac{(z-z_0)^m}{g(z)}$fa$\textbf{not}$ha senso a$z_0$.

Answer 2

Notiamo che$z_0$non è nel dominio di$\frac{1}{f}$da$f(z)$non è definito a priori a$z_0$. Questa situazione può essere risolta definendo $\frac{1}{f}(z_0)$in modo coerente con la continuità, vale a dire:

Definiamo

$\left (\dfrac{1}{f} \right )(z_0) = 0 \tag 1$

perché

$\displaystyle \lim_{z \to z_0} \dfrac{(z - z_0)^m}{g(z)} = 0. \tag 2$