Semplificare $\sum_{k = 0}^n \left[ \binom{m + n + k}{k} 2^{n + 1 - k} - \binom{m + n + k + 1}{k} 2^{n - k} \right]$.

Aug 17 2020

Questo è l'esercizio 6 da pagina 44 di Analisi I di Amann ed Escher.

Esercizio:

Semplifica la somma

\begin{align*} S(m, n) := \sum_{k = 0}^n \left[ \binom{m + n + k}{k} 2^{n + 1 - k} - \binom{m + n + k + 1}{k} 2^{n - k} \right] \end{align*}

per $m, n \in \mathbb N$.

Suggerimento: per $1 \leq j < \ell$ noi abbiamo $\binom{\ell}{j} - \binom{\ell}{j - 1} = \binom{\ell + 1}{j} - 2\binom{\ell}{j - 1}$.

Il mio tentativo:

Purtroppo non capisco come utilizzare il suggerimento. Non vedo come corrisponda all'espressione nella somma.

\begin{align*} \sum_{k = 0}^n \Bigg[ \binom{m + n + k}{k} 2^{n + 1 - k} - \binom{m + n + k + 1}{k} 2^{n - k} \Bigg] &= \sum_{k = 0}^n \Bigg[ 2^{n - k} \Big[ \binom{m + n + k}{k} 2 - \binom{m + n + k + 1}{k} \Big] \Bigg]\\ &= \sum_{k = 0}^n \Bigg[ 2^{n - k} \Big[ \binom{m + n + k}{k} + \binom{m + n + k}{k} - \binom{m + n + k + 1}{k} \Big] \Bigg]\\ &= \sum_{k = 0}^n \Bigg[ 2^{n - k} \Big[ \binom{m + n + k}{k} - \binom{m + n + k}{k - 1} \Big] \Bigg] \text{ (Pascal)}. \end{align*}

A questo punto sono bloccato. Non sono sicuro che sia un vicolo cieco, soprattutto perché non ho usato il suggerimento. Apprezzo qualsiasi aiuto.

Risposte

3 MikeEarnest Aug 17 2020 at 23:46

Iniziare con $$ \sum_{k = 0}^n \Bigg[ 2^{n - k} \Big[ \binom{m + n + k}{k} - \binom{m + n + k}{k - 1} \Big] \Bigg], $$ e usando il suggerimento con $\ell=m+n+k$ e $j=k$, noi abbiamo $$ \sum_{k = 0}^n \Bigg[ 2^{n - k} \Big[ \binom{m+n+k+1}{k} - 2\binom{m+n+k}{k - 1} \Big] \Bigg]=\sum_{k = 0}^n\left(2^{n-k}\binom{m+n+k+1}{k}-2^{n-k+1}\binom{m+n+k}{k - 1}\right). $$Questa è una somma telescopica, quindi può essere facilmente valutata. Vale a dire, lasciare$$ a_k=2^{n-k}\binom{m+n+k+1}{k}, $$ allora la somma in questione è uguale a $$ \sum_{k=0}^n (a_k-a_{k-1}), $$ a cui telescopi $a_n-a_{-1}$.