SOLO l'ellisse ha queste proprietà?
Due rette parallele sono tangenti a un'ellisse. Tra queste due linee, ogni linea parallela a queste due interseca l'ellisse in due punti.
Il punto medio preciso tra questi due punti si trova esattamente sulla linea che collega i due punti di tangenza.
La mia domanda qui è se quest'ultima proposizione è vera per ogni coppia di tangenti parallele solo per l'ellisse e nessun'altra forma.
PS: Ai fini del presente, definiamo "tangente" come "toccare ma non attraversare il confine". Quindi una linea obliqua che passa per l'angolo di un rettangolo è una "tangente" e vediamo che il rettangolo NON è un esempio di un'altra forma con la proprietà di interesse.
PPS: ok, affiniamo un po 'l'affermazione del problema. Considera un insieme chiuso delimitato con interni non vuoti nel piano. Supponiamo che sia strettamente convesso, cioè che ogni punto tra due dei suoi punti sia uno dei suoi punti interni. Ciò implica che una linea che interseca il suo confine ma non il suo interno lo intersechi in un solo punto. Chiama una tale linea una linea tangente. Ne consegue che per ogni linea tangente c'è esattamente un'altra linea tangente parallela ad essa. Supponiamo che per ogni linea parallela a quelle due e tra di loro, il punto medio dell'intersezione di quella linea con il nostro insieme convesso limitato e chiuso si trovi sulla linea che collega i due punti di tangenza.
Ne consegue che il nostro insieme chiuso delimitato è lo scafo convesso di un'ellisse?
Risposte
Ogni curva convessa chiusa differenziabili a tratti con la proprietà tangente data è un'ellisse.
Dimostrazione : il problema è affine, nel senso che se una curva ha la proprietà data, lo stesso vale per ogni sua trasformazione affine. Quindi, iniziando con una coppia di tangenti all'estremità più ampia della curva, usa una rotazione per rendere le tangenti verticali e uno shear per portare la$\mathcal{C}$ la cui linea di simmetria è la $x$-asse.
Ora prendi la coppia orizzontale di tangenti $\mathcal{C}$, incontrandolo in due punti uno sopra l'altro verticalmente. Traducilo in modo che questa linea verticale sia$y$asse. Poi$\mathcal{C}$ è simmetrico rispetto a entrambi i file $x$ e $y$assi. Il ridimensionamento lungo questi assi porta le loro intercettazioni a$1$. Ogni altro punto ha raggio al massimo$1$, tra l'altro sono state scelte le tangenti originali.
Proposizione 1. $\mathcal{C}$ è equilibrato, cioè $x\in \mathcal{C}\implies -x\in\mathcal{C}$.
Questo segue direttamente dalla simmetria lungo i due assi perpendicolari.
Quindi, data una qualsiasi coppia di tangenti, la linea che unisce i punti di contatto passa per l'origine.
Proposizione 2. La curva è derivabile.
Unisci gli angoli opposti con una linea che attraversa l'origine. Poi$\mathcal{C}$ avrebbe distanze uguali da questa linea lungo due serie di linee parallele, il che dà una contraddizione.
$\hspace{4cm}$
Proposizione 3. Qualsiasi punto $\mathcal{C}$ con raggio $1$ ha una tangente perpendicolare.
Un punto con il raggio massimo $r(\theta)=1$ deve avere $r'=0$.
Proposizione 4. If $OA$ e $OB$ hanno raggi di $1$ quindi anche la loro bisettrice angolare $OC$.
La tangente parallela a $AB$ tocca la curva ad un certo punto $C$. La linea$OC$ tagli $AB$ a metà per ipotesi ed è quindi la bisettrice mediana e angolare di $AOB$e perpendicolare a $AB$. Così$\mathcal{C}$ è simmetrico su $OC$ e quindi la tangente a $C$ è perpendicolare a $OC$.
$\hspace{3cm}$
Lascia la tangente a $C$ incontra la tangente in $A$ al punto $P$. Considera le tangenti parallele a$AC$ e la linea $Q'OQ$unendo le tangenti opposte. Questa linea passa per il punto medio di$AC$per ipotesi. Nel limite, punti vicini$A'$ sopra $AP$ e $C'$ sopra $CP$ con $A'C'$ parallelo a $AC$ sono anche divise in due da $OQ$ da $AP$ e $CP$ sono tangenti a $\mathcal{C}$. Ma questo significa che$OQ$ è la mediana di $APC$, e quindi $Q$ è acceso $OP$. Da$OAPC$ è un quadrilatero ciclico con diametro $OP$, la corda divisa in due $AC$ è perpendicolare a $OP$ e così $OC=OA=1$.
Proposizione 5. $\mathcal{C}$ è un cerchio.
Dal momento che il $x$ e $y$ le intercettazioni hanno raggio $1$, si possono continuare a prendere le bisettrici angolari, formando un insieme denso di punti di raggio $1$. Per continuità, tutti i punti hanno lo stesso raggio.
Quindi la curva originale è una trasformazione affine di un cerchio, cioè un'ellisse.