Soluzione dell'esercizio di funzionegenerativa 1a.

Aug 16 2020

La domanda è:

  1. Trova le ordinarie funzioni generatrici di serie di potenze di ciascuna delle seguenti sequenze, in forma semplice e chiusa. In ogni caso la sequenza è definita per tutti$n\geq0$. (un)$a_n=n$

Questa è la funzione$A(x)=0x^0+1x^1+2x^2+3x^3+\ldots$, che riscrivo come:$A(x)=(x+x^2+x^3+x^4+x^5+\ldots)+(x^2+x^3+x^5+\ldots)+(x^3+x^4+x^5+\ldots)+\ldots$

Ciascuno dei termini è una serie geometrica, quindi l'ho scritto come

$\begin{align} A(x) &= \frac{x}{1-x}+\frac{x^2}{1-x}+\frac{x^3}{1-x}+\ldots \\ &= \frac{x}{1-x}\left(1+x+x^2+\ldots\right) \\ &=\frac{x}{(1-x)^2} \end{align}$

Pertanto, la mia risposta sarebbe$A(x)=\frac{x}{(1-x)^2}$. Tuttavia, la chiave di risposta alla fine del libro dice che la risposta è "$(xD)(1/(1-x))=x/(1-x)^2$". Mentre la mia funzione generatrice sembra la destra della chiave di risposta, non capisco cosa significhi la sinistra. C'è qualcosa che mi manca qui?

Risposte

2 FormulaWriter Aug 16 2020 at 17:15

Il$LHS$è semplicemente un altro modo per ottenere la stessa funzione generatrice che hai trovato. Dice: prendi la derivata di$1/(1-x)$e poi moltiplicare per$x$.