Soluzione estranea da sostituzione nelle equazioni
Mi sono imbattuto in questo esempio di come potresti ritrovarti con una soluzione estranea ma mi chiedevo come sia nata. Abbiamo l'equazione:$$x^2+x+1=0 $$ Poiché x = 0 non soddisfa l'equazione, puoi dividere per x su entrambi i lati, ottenendo: $$x+1+\frac{1}{x}=0$$che è equivalente alla nostra prima equazione. Dalla nostra prima eqution possiamo concludere che:$$-x^2=x+1$$ Ora lo sostituiamo nella seconda equazione per ottenere:$$x^2=\frac{1}{x}$$ che si traduce in $$x^3=1$$che è equivalente alla nostra precedente equazione poiché x non può essere 0. Tuttavia, una soluzione dalla nostra ultima equazione è x = 1, che non è una soluzione per la nostra equazione originale. Ho una vaga idea che potrebbe avere a che fare con il fatto che ottieni un'equazione cubica e hai iniziato con una quadratica, e che i passaggi implicano quanto segue e non viceversa, ma puoi fornire una risposta molto dettagliata sul perché sorge? Potete fornire altri esempi?
Risposte
Se chiamiamo $A(x)=x^2+x+1$ e $B(x)=x+1+\frac1x$, possiamo schematizzare i tuoi passaggi come tali: $$A(x)=0\Leftrightarrow \begin{cases}x\ne 0\\ B(x)=0\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}x\ne 0\\ A(x)=0 \\B(x)=0\end{cases}\stackrel{!!!}\Rightarrow \begin{cases}x\ne 0\\ B(x)-A(x)=0\end{cases}$$
Considerando che per preservare l'equivalenza avresti dovuto mantenere $A(x)=0$ nel $\begin{cases}x\ne0\\ B(x)-A(x)=0\\ A(x)=0\end{cases}$
Questa sostituzione ($x+1=-x^2$) espande un insieme di radici dell'equazione
perché $-x^2$ dipende anche da $x$.
Puoi sostituire $x+1=y$, per esempio.
Un altro esempio, quando una sostituzione simile dà problemi simili.
Dobbiamo risolvere $$\sqrt[3]{2x+1}+\sqrt[3]{x+1}=\sqrt[3]{x-1}.$$
Otteniamo: $$\left(\sqrt[3]{2x+1}+\sqrt[3]{x+1}\right)^3=x-1$$ o $$2x+1+x+1+3\sqrt[3]{2x+1}\cdot\sqrt[3]{x+1}\left(\sqrt[3]{2x+1}+\sqrt[3]{x+1}\right)=x-1.$$ Adesso, da allora $$\sqrt[3]{2x+1}+\sqrt[3]{x+1}=\sqrt[3]{x-1},$$ che può ottenere qualcosa di brutto, otteniamo: $$3\sqrt[3]{(2x+1)(x+1)(x-1)}=-3-2x$$ o $$x(440x^2+630x+189)=0$$ e abbiamo ottenuto come una delle opzioni $x=0$.
Facile vederlo $0$ non è una radice dell'equazione di partenza ed è successo
perché abbiamo utilizzato una sostituzione non corretta $\sqrt[3]{2x+1}+\sqrt[3]{x+1}=\sqrt[3]{x-1}.$
Ora, dobbiamo controllare che tutte le radici dell'equazione $440x^2+630x+189=0$ sono radici dell'equazione di partenza, che non è così facile.
Se vogliamo evitare questi problemi, quindi dobbiamo usare la seguente identità. $$a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc)$$
Tutte le trasformazioni di un'equazione devono essere reversibili. Con$x=0$,
$$x^2+x+1=0\leftrightarrow x+1+\frac1x=0$$ è ok.
Ma combinando due equazioni in una $$\begin{cases}x+1=-\dfrac1x\\x+1=-x^2\end{cases}\leftrightarrow x^2=\frac1x$$ non è.