Soluzione estranea da sostituzione nelle equazioni

Aug 16 2020

Mi sono imbattuto in questo esempio di come potresti ritrovarti con una soluzione estranea ma mi chiedevo come sia nata. Abbiamo l'equazione:$$x^2+x+1=0 $$ Poiché x = 0 non soddisfa l'equazione, puoi dividere per x su entrambi i lati, ottenendo: $$x+1+\frac{1}{x}=0$$che è equivalente alla nostra prima equazione. Dalla nostra prima eqution possiamo concludere che:$$-x^2=x+1$$ Ora lo sostituiamo nella seconda equazione per ottenere:$$x^2=\frac{1}{x}$$ che si traduce in $$x^3=1$$che è equivalente alla nostra precedente equazione poiché x non può essere 0. Tuttavia, una soluzione dalla nostra ultima equazione è x = 1, che non è una soluzione per la nostra equazione originale. Ho una vaga idea che potrebbe avere a che fare con il fatto che ottieni un'equazione cubica e hai iniziato con una quadratica, e che i passaggi implicano quanto segue e non viceversa, ma puoi fornire una risposta molto dettagliata sul perché sorge? Potete fornire altri esempi?

Risposte

8 Gae.S. Aug 16 2020 at 16:16

Se chiamiamo $A(x)=x^2+x+1$ e $B(x)=x+1+\frac1x$, possiamo schematizzare i tuoi passaggi come tali: $$A(x)=0\Leftrightarrow \begin{cases}x\ne 0\\ B(x)=0\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}x\ne 0\\ A(x)=0 \\B(x)=0\end{cases}\stackrel{!!!}\Rightarrow \begin{cases}x\ne 0\\ B(x)-A(x)=0\end{cases}$$

Considerando che per preservare l'equivalenza avresti dovuto mantenere $A(x)=0$ nel $\begin{cases}x\ne0\\ B(x)-A(x)=0\\ A(x)=0\end{cases}$

1 MichaelRozenberg Aug 16 2020 at 16:42

Questa sostituzione ($x+1=-x^2$) espande un insieme di radici dell'equazione

perché $-x^2$ dipende anche da $x$.

Puoi sostituire $x+1=y$, per esempio.

Un altro esempio, quando una sostituzione simile dà problemi simili.

Dobbiamo risolvere $$\sqrt[3]{2x+1}+\sqrt[3]{x+1}=\sqrt[3]{x-1}.$$

Otteniamo: $$\left(\sqrt[3]{2x+1}+\sqrt[3]{x+1}\right)^3=x-1$$ o $$2x+1+x+1+3\sqrt[3]{2x+1}\cdot\sqrt[3]{x+1}\left(\sqrt[3]{2x+1}+\sqrt[3]{x+1}\right)=x-1.$$ Adesso, da allora $$\sqrt[3]{2x+1}+\sqrt[3]{x+1}=\sqrt[3]{x-1},$$ che può ottenere qualcosa di brutto, otteniamo: $$3\sqrt[3]{(2x+1)(x+1)(x-1)}=-3-2x$$ o $$x(440x^2+630x+189)=0$$ e abbiamo ottenuto come una delle opzioni $x=0$.

Facile vederlo $0$ non è una radice dell'equazione di partenza ed è successo

perché abbiamo utilizzato una sostituzione non corretta $\sqrt[3]{2x+1}+\sqrt[3]{x+1}=\sqrt[3]{x-1}.$

Ora, dobbiamo controllare che tutte le radici dell'equazione $440x^2+630x+189=0$ sono radici dell'equazione di partenza, che non è così facile.

Se vogliamo evitare questi problemi, quindi dobbiamo usare la seguente identità. $$a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc)$$

YvesDaoust Aug 18 2020 at 15:23

Tutte le trasformazioni di un'equazione devono essere reversibili. Con$x=0$,

$$x^2+x+1=0\leftrightarrow x+1+\frac1x=0$$ è ok.

Ma combinando due equazioni in una $$\begin{cases}x+1=-\dfrac1x\\x+1=-x^2\end{cases}\leftrightarrow x^2=\frac1x$$ non è.