Somme parziali su funzioni razionali

Question

Recentemente mi sono imbattuto nel risultato che

$$\sum_{n=2}^\infty \frac{n^4-n^3+n+1}{n^6-1} = \frac{1}{2}$$

Mi chiedo come si possa dimostrarlo, in generale come si possa valutare una somma su funzioni razionali.

Se inserisco la somma in Wolfram Alpha, dà

$$\frac{3k^4-k-2}{6k(k+1)(k^2+k+1)}$$

come la $k$-esima somma parziale. Prendendo il limite come$n \to \infty$, questo in effetti dimostrerebbe l'uguaglianza superiore.

Purtroppo, non sono riuscito a capire come ottenere il risultato della somma parziale di Wolfram Alpha. Se qualcuno ha un'idea fammelo sapere. Eventuali suggerimenti sono apprezzati.

Answer 1

In una parola: i termini telescopio in modo carino.

Usando le frazioni parziali, abbiamo $$ \frac{n^4-n^3+n+1}{n^6-1} = \frac{1}{3}\left(\frac{n - 2}{n^2 - n + 1}- \frac{n-1}{n^2 + n + 1} + \frac{1}{n - 1} - \frac{1}{n + 1}\right) $$Dobbiamo stare un po 'attenti perché la serie armonica diverge, quindi dovremmo raggruppare solo termini con segni opposti insieme. Gli ultimi due termini formano una nota serie telescopica:$$ \frac{1}{3}\sum_{n=2}^{m}\left(\frac{1}{n - 1} - \frac{1}{n + 1} \right)= \frac{1}{3}\left(1+\frac{1}{2}-\frac{1}{m}-\frac{1}{m+1}\right)\longrightarrow \frac{1}{2} $$Anche i primi due termini telescopio, con il secondo termine che mangia quello prima di esso: $$ \frac{1}{3}\sum_{n=2}^{m}\left(\frac{n - 2}{n^2 - n + 1}- \frac{n-1}{n^2 + n + 1} \right)= -\frac{1}{3}\cdot \frac{m-1}{m^2+m+1}\longrightarrow 0 $$Questo genere di cose non funzionerà in generale, ma non guarderò in bocca un cavallo da regalo.