Sulla cardinalità di un incrocio

Question

Consideriamo una successione divergente$a_n:\Bbb N\to\Bbb N$e una sequenza decrescente$\{A_{n}\}_n$di sottoinsiemi di$\Bbb R^d$tale che$A_n$è l'unione disgiunta di$a_n$palle$B(c_j^{n},r_n)$di raggio fisso$r_n>0$, tale che$$ \{c_j^{(n)}\}_{j=1}^{a_n}\subset\{c_j^{(n+1)}\}_{j=1}^{a_{n+1}}\\ r_n\to0 $$e chiama$$ A:=\bigcap_{n=1}^{+\infty}A_n $$il limite stabilito.

Sembra facile dedurlo$$ A=\bigcup_{n\ge1}\{c_j^{(n)}\}_{j=1}^{a_n}\;\;, $$ma la mia domanda è: è in questo caso$A$è necessariamente numerabile per qualsiasi divergenza$a_n$?

EDIT Come ha sottolineato Gae S$$ A=\bigcup_{n\ge1}\{c_j^{(n)}\}_{j=1}^{a_n}\;\;, $$non è vero. Ma è vero che$$ A=\operatorname{cl}\left(\bigcup_{n\ge1}\{c_j^{(n)}\}_{j=1}^{a_n}\right)\;\;? $$

Answer 1

Considera la seguente costruzione simile a Cantor in$\Bbb R^1$:

• $A_0=(0,1)$;

• $A_{n+1}=\left(\frac13A_n\right)\cup\left(\frac12-\frac123^{-(n+1)},\frac12+\frac123^{-(n+1)}\right)\cup\left(\frac23+\frac13A_n\right)$

Notare che$A_n\supsetneqq A_{n+1}$e quello$\bigcap_nA_n$contiene i punti irrazionali dell'insieme di Cantor, che sono innumerevoli.

Questa sequenza$A_n$si adatta alle tue specifiche (eccetto, ovviamente,$\bigcap_n A_n$essendo l'insieme dei centri della successione delle palline) per avere$B\left(c_1^{(n)},r_n\right),\cdots, B\left(c^{(n)}_{a_n},r_n\right)$essere le componenti connesse di$A_n$. Per la cronaca, qui$a_{n}=2^{n+1}-1$. È abbastanza chiaro che ciascuno$A_n$è esattamente l'unione di intervalli disgiunti di lunghezza$3^{-n}$e quindi$r_n=\frac12 3^{-n}$. La ragione per cui$\left\{c^{(n)}_j\right\}_{j=1}^{a_n}\subseteq \left\{c^{(n+1)}_j\right\}_{j=1}^{a_{n+1}}$è quello se chiamiamo$f(x)=\frac x3$,$g(x)=\frac23+\frac x3$, poi il$c^{(n)}_j$-s sono esattamente i punti della forma$(h_1\circ h_2\circ\cdots\circ h_m)(1/2)$per alcuni$0\le m\le n$e$h_1,\cdots,h_m\in\{f,g\}$(per$m=0$, adottiamo la notazione$h_1\circ\cdots\circ h_m:=id$). Pertanto, tutto il$c^{(n)}_j$-s sono evidentemente tra i$c_j^{(n+1)}$-S.

Nota: non vedo un ostacolo a farlo per un'appropriata spolverata di Cantor$\Bbb R^d$insieme a$d\ge2$.

Dopo la modifica: in questo esempio, certamente$A:=\bigcap_nA_n\ne\operatorname{cl}\left\{c_j^{(n)}\,:\, n\in\Bbb N\land 1\le j\le a_n\right\}$, perché$A$non è chiuso:$\operatorname{cl}(A)\setminus A$contiene infiniti numeri razionali; ad esempio, i punti estremi delle componenti connesse del complemento dell'insieme di Cantor.