$ \sum_{k=1}^{+\infty} \frac{\sin^2 (kx)}{k}$ e $ \sum_{k=1}^{+\infty} \frac{\cos^2 (kx)}{k}$

Question

Esaminiamo la serie $ \sum\limits_{k=1}^{+\infty} \dfrac{\sin^2 (kx)}{k}$ e $ \sum\limits_{k=1}^{+\infty} \dfrac{\cos^2 (kx)}{k}$

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Il mio tentativo:
$\forall t , ~ \cos^2(t) + \sin^2(t) =1$ e $\sum\limits_{k \ge 1} \dfrac{1}{k} =\infty$.
Poiché i due termini sono positivi, almeno una delle serie dovrebbe essere divergente.
Come dimostrare che entrambe le serie sono divergenti?

Come indicato in suggerimento, $\cos^2(kx)= 1 + 2 \cos(2kx)$

Answer 1

SUGGERIMENTO:

Entrambe le serie divergono. Per dimostrarlo, usa le identità

$$\begin{align} \sin^2(x)&=\frac{1-\cos(2x)}{2}\\\\ \cos^2(x)&=\frac{1+\cos(2x)}{2} \end{align}$$

insieme al fatto che $\sum_{n=1}^\infty \frac{\cos(2nx)}{n}$ converge per $x\ne m\pi$, $m\in \mathbb{Z}$, come garantito dal test di Dirichlet .