Trasformata di Fourier di $L^1$ funzione la cui derivata è in $L^1$ e svanisce all'infinito è dentro $L^1$

Question

$f \in L^1(\mathbb{R})$ è una funzione differenziabili tale che $f' \in L^1(\mathbb{R}) \cap C_0(\mathbb{R})$, dimostra che la trasformata di Fourier di $f$ notato $\hat{f}$ è dentro $L^1 (\mathbb{R})$

Lo so se $f,f'\in L^1(\mathbb{R})$, poi $\widehat{f'}(t)=it\hat{f}(t)$ma non ho idea di come usare la condizione che la derivata svanisca all'infinito. Tutte le idee saranno utili.

Answer 1

Due suggerimenti:

Usa il fatto che $f'$ è destinato a dimostrarlo $f' \in L^2$ e l'uso di Plancherel.

Notare che $f'$ è limitato e da allora$|f'|^2 \le \sup |f'| |f'|$ Lo vediamo $f' \in L^2$. Allora Plancherel lo mostra$\hat{f'} \in L^2$. Notare che$\hat{f'}(\omega) = i\omega \hat{f(\omega)$.

Usa Cauchy Schwartz e annotalo per $\omega \neq 0$ noi abbiamo $\hat{f}(\omega) = \omega \hat{f}(\omega) \cdot {1 \over \omega}$.

Per $\omega \neq 0$ noi abbiamo $|\hat{f}(\omega)| = |\omega||\hat{f}(\omega)| \cdot {1 \over |\omega|}$ e Cauchy Schwartz dà $\int|\hat{f}| = \int |\omega||\hat{f}(\omega)| \cdot {1 \over |\omega|} d \omega = \int |\hat{f'}(\omega)| \cdot {1 \over |\omega|} d \omega \le \| \hat{f'}\| \| \omega \mapsto {1 \over |\omega|} \|$.