Trova una matrice che proietta i vettori sul piano dato.

Aug 23 2020

Considera un aereo in arrivo $\mathbb{R}^{3}$ che interseca l'origine ed è ortogonale a $$ \mathbf{v}=\left(\begin{array}{c} 1 \\ -2 \\ 1 \end{array}\right) .$$

(a) Trova un file $3 \times 3$ matrice $P_{\mathbf{v}}$ che proietta i vettori su questo piano. $\tag{5 marks }$

(b) Data la matrice $P_{\mathbf{v}}$ dalla parte (a), descrivere il significato geometrico della funzione (non lineare) $f(\mathbf{w})=\sqrt{\mathbf{w}^{T} P_{\mathbf{v}} \mathbf{w}}$. $\tag{5 marks }$

trascritto da screenshot

Il mio tentativo: il piano ortogonale al vettore$x =\left ( \begin{matrix} 1 \\ -2 \\ 1 \\ \end{matrix} \right )$ è $x-2y+z = 0.$

Ora i punti su questo piano appartengono a questo set - $\{ c_1\left ( \begin{matrix} 2 \\ 1 \\ 0 \\ \end{matrix} \right ) + c_2\left ( \begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 2 \\ \end{matrix} \right ) : c_1 , c_2 \in \mathbb R\}$ . $\left ( \begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ \end{matrix} \right )$ appartiene anche a questo set.

Quindi possiamo dire la matrice che proietta tutti i vettori sul piano $x-2y+z = 0$ è $\left ( \begin{matrix} 0 & 2 &1\\ 1 & 1 & 1\\ 2 & 0 & 1\\ \end{matrix} \right ) $

Perché $\left ( \begin{matrix} 1 & -2 & 1 \end{matrix} \right ) \times \left ( \begin{matrix} 0 & 2 &1\\ 1 & 1 & 1\\ 2 & 0 & 1\\ \end{matrix} \right ) \times \left ( \begin{matrix} x \\ y \\ z \\ \end{matrix} \right )= 0$ per tutti $ x, y , z \in \mathbb R$

Qualcuno può controllare se la mia soluzione è corretta e dare alcuni suggerimenti per la seconda parte?

Risposte

MatthewPilling Aug 24 2020 at 04:22

Se hai una base $\beta$ per un $2-$sottospazio dimensionale $W$ conatined in $\mathbb{R}^3$, dovresti mettere questi due vettori nelle colonne di una matrice $A$ e quindi calcolare $$P=A(A^TA)^{-1}A^T$$ Si scopre che questa matrice è la matrice della trasformazione in cui proietta i vettori $\mathbb{R}^3$ su $W$.

Lo spazio della colonna della matrice che hai fornito, ovvero $$\left ( \begin{matrix} 0 & 2 &1\\ 1 & 1 & 1\\ 2 & 0 & 1\\ \end{matrix} \right )$$ è infatti l'aereo $\{x-2y+z=0\}\cap\mathbb{R}^3$ ma non agisce $\mathbb{R}^3$proiettando vettori su questo piano. Riesci a vedere perché? Per un suggerimento sulla parte (b), ti suggerisco di disegnare un'immagine e di usare il fatto che$$\vec{u} \cdot \vec{v}=||\vec{u}||\times ||\vec{v}||\times\cos(\theta)$$ dove $\theta$ è l'angolo tra $\vec{u}$ e $\vec{v}$.