Trovare le radici del polinomio$X^2 - X + 19$in$\mathbb Z/61 \mathbb Z$

Question

Per$p = 61$.

Mi sono state date le radici di$X^2 + 3$in$\mathbb Z/p \mathbb Z$, quali sono$\pm 27 + p\mathbb Z$.

Devo quindi trovare le radici di$X^2 - X + 19$in$\mathbb Z/p\mathbb Z$, che ho trovato senza utilizzare le informazioni precedenti.

Tuttavia, dovrei usare le informazioni fornite per trovare le radici di$X^2 - X + 19$in$\mathbb Z/p\mathbb Z$, a cui non ho idea di come andare avanti.

Answer 1

Completa il quadrato.

$X^2-X+19\equiv0\bmod61\iff 4X^2-4X+76\equiv0\bmod61$

$\iff (2X-1)^2\equiv-75=-3\times 5^2 \bmod61$

$\iff 2X-1\equiv\pm27\times5\bmod61$.

Puoi prenderlo da qui?