Trovare $\sum_{k=0}^{n} (-1)^k \frac{k}{n \choose k}$, quando $n$ è un numero intero positivo

Question

Prima una domanda in MSE:

Trova $\sum_{r=1}^{3n-1}{ (-1)^{r-1}r\over{3n \choose r}}$, Se $n$ è anche

intendeva chiedere il riassunto $$S_n=\sum_{k=0}^{n} (-1)^k \frac{k}{{n \choose k}}~~~~~(1)$$ quando è $n$anche. A causa della limitazione di una procedura, è stato possibile provarla solo per interi anche positivi$n$. Qui, mostriamo che la somma (1) può essere scritta in forma chiusa sia per i valori pari che per quelli dispari di$n$. Usiamo la rappresentazione integrale del reciproco del coefficiente binomiale come$${n \choose k}^{-1} = (n+1) \int_{0}^{1}x^k (1-x)^{n-k} dx$$ Inoltre, utilizzando $$\sum_{k=0}^{n}k z^k=\frac{z}{(1-z)^2}-\frac{z^{n+1}}{(1-z)^2}-\frac{n z^{n+1}}{1-z}$$ Poi $$S_n=(n+1)\int_{0}^{1} \sum_{k=0}^{n} k \left(\frac{x}{x-1}\right)^k (1-x)^n dx= (n+1)\int_{0}^{1}[-x(1-x)^{n+1}+(-1)^n x^{n+1}(1-x)+(-1)^n n x^{n+1}]dx.$$ Uso $\int_{0}^{a} f(x) dx= \int_{0}^{a} f(a-x) dx$ nel secondo integrale $$S_n=(n+1) \left(\int_{0}^{1} -x^{n+1}(1-x) dx+(-1)^n\int_{0}^{1} x^{n+1}(1-x) dx+(-1)^n n \int_{0}^{1} x^{n+1} dx \right).$$ $$\implies S_n=-(n+1)[1+(-1)^{n+1}] \int_{0}^{1} (x^{n+1}-x^{n+2}) dx+(-1)^n\frac{n(n+1)}{n+2}. $$ $$S_n=-[1+(-1)^{n+1}]\frac{n+1}{(n+2)(n+3)}+ (-1)^n \frac{n(n+1)}{n+2}~~~~(2)$$ La domanda è: quali sono gli altri metodi per ottenere questo risultato (2).

Answer 1

Si inserisce in una bella funzione di generazione esponenziale:

$$\begin{align*} \sum_{n=0}^\infty \sum_{k=0}^n (-1)^k \frac{k}{\binom{n}{k}} x^n &= \sum_{n=0}^\infty \left(\sum_{k=0}^n (-1)^k (k+1)! (n-k)! \right)\frac{x^n}{n!} \\ &= \frac{\frac{((x-3) x-2) x^2}{(x-1) (x+1)^2}+2 \log (1-x)+2 \log (x+1)}{x^3} \end{align*}$$dove la seconda riga è ciò che Mathematica sputa; presumibilmente è relativamente semplice riprodurre il risultato a mano. In ogni caso, stai cercando il coefficiente di$x^n$, che è un esercizio semplice, anche se leggermente noioso, nelle frazioni parziali e nelle serie di Taylor. Riempire i dettagli e organizzarli bene è probabilmente della stessa lunghezza del tuo approccio integrale, sebbene questo abbia il vantaggio di utilizzare strumenti di funzione di generazione più generici.