Tutte le matrici Hermitiane simili sono unitariamente simili?

Aug 18 2020

Non lo ero $100\%$ sicuro nell'accuratezza di ciò che ho ottenuto, quindi posso chiedere la verifica?


Permettere $A,B\in M_n(\Bbb C)$essere due matrici Hermitiane simili. Poi$A=P^{-1}BP$.

Secondo il teorema spettrale, ogni matrice hermitiana è diagonalizzabile, quindi $A=U_1^{-1}DU_1$ e $B=U_2^{-1}DU_2$, dove $U_1,U_2\in M_n(\Bbb C)$ sono unitari e $D=\left(\delta_{ij}\right)\in M_n(\Bbb C)$ è diagonale st $\delta_{ii}\in\sigma(A)=\sigma(B)$.

Da $A$ e $B$ sono unitariamente simili a $D$, Volevo scrivere $A$ nella seguente forma: $$A=P^{-1}U_2^{-1}DU_2P$$ Poi $U_2P=U_1\implies P=U_2^{-1}U_1$. Dal momento che entrambi$U_1$ e $U_2^{-1}$ sono unitari, $P$, come prodotto di due matrici unitarie, è anche unitario.

Domanda in base a questo risultato:

Sono tutti simili matrici hermitiane unitariamente simile ?

Se questo è valido, può essere utilizzato nella dimostrazione che la rappresentazione matriciale di un operatore Hermitiano in base ortonormale è una matrice Hermitiana? L'affermazione è ovvia quando, data una matrice Hermitiana arbitraria, viene chiesto di diagonalizzarla. ho pensato$P$ potrebbe essere la matrice di transizione da una base ortonormale a un'altra.


Grazie in anticipo!

Risposte

1 Invisible Aug 19 2020 at 19:17

Come verificato da @ StephenMontgomery-Smith, tutte le matrici Hermitiane simili sono unitariamente simili, anzi.

Howerver, $P$ non deve essere necessariamente unitario se, ad esempio, $A=B=0$. Quindi ogni invertibile$P$ sarebbe sufficiente.


Potresti vedere questa domanda parallela che ho postato su Quora, a cui ha risposto ieri Aaron Dunbrack .