Un cilindro non è stabile per un'area soggetta a vincoli di volume

Question

Considera una superficie $f:\Omega\to\mathbb{R}^3$ con la mappa di Gauss $\nu:\Omega\to\mathbb{S}^2$e per ciascuno $p\in\Omega$ lasciatemi denotare $\kappa_1,\kappa_2$ le principali curvature di $f$ a $p$, ovvero gli autovalori dell'operatore di forma nel punto.

Nel contesto delle superfici a curvatura media costante, la superficie $f$è chiamato stabile per l'area soggetta a vincolo di volume se la seconda variazione dell'area soddisfa

\ begin {equation} \ delta_ {u \ nu} ^ 2 A_U (f) = - \ int_U u \ Delta_f u + (\ kappa_1 ^ 2 + \ kappa_2 ^ 2) u ^ 2 \, dS \ geq 0 \ end {equation } per tutte le variazioni normali$u\in\mathcal{C}_0^\infty(\Omega,\mathbb{R})$ con $\int_U u\,dS=0$, dove $U=\text{supp}\;u$. In questa domanda,$\Delta_f$ rappresenta il laplaciano standard.

Vorrei controllare che un cilindro non sia stabile. Consentitemi di considerare un cilindro di altezza$2\pi$ e di raggio $1/(2H)$, con curvatura media $H>0$.

Per questa superficie si possono calcolare le principali curvature: $\kappa_1=0$ e $\kappa_2=\pm\frac{1}{2H}$ (il segno dipende dalla scelta di $\nu$). Poi,$\kappa_1^2+\kappa_2^2=\frac{1}{4H^2}$.

Successivamente, parametrizzerò il cilindro usando

\ begin {equation} C (\ theta, z) = \ left (\ frac {1} {2H} \ cos \ theta, \ frac {1} {2H} \ sin \ theta, z \ right), \ quad ( \ theta, z) \ in [0,2 \ pi] \ volte [0,2 \ pi]. \ end {equation}

Quindi, l'elemento area $dS$ è $dS=\frac{1}{2H}\,d\theta dz$.

Poiché il cilindro non è stabile, ho bisogno di trovare una funzione di variazione ammissibile $u$ tale che $\delta_{u\nu}^2 A_U(f)<0$. A questo scopo, lasciatemi prendere la funzione di variazione

\ begin {equation} u (\ theta, z) = \ sin \ left (\ frac {1} {2H} \ sin \ theta \ right). \ end {equation}

Sebbene sia possibile verificarlo $\int_U u\,dS=0$, e così $u$ è una funzione ammissibile, l'informatica $\delta_{u\nu}^2 A_U(f)<0$ non è fattibile (nemmeno assistito da computer).

Poiché questo esempio dovrebbe essere sufficiente per controllare (anche a mano!), Vorrei finire i miei calcoli usando una funzione diversa $u$. Qualcuno può suggerire una funzione di variazione$u$ questo lo rende più facile?

Answer 1

Primo, poiché la seconda variazione può essere scritta come \ begin {equation} \ delta_ {u \ nu} ^ 2 A_U (f) = \ int_S | \ nabla u | ^ 2 - (\ kappa_1 ^ 2 + \ kappa_2 ^ 2) u ^ 2 \, dS, \ \ \ \ text {per tutti} u \ in C ^ \ infty_0 (S), \ end {equation} Usando la densità di$C^\infty_0(S) \subset W^{1,2}_0(S)$ con il $W^{1,2}$norma, una superficie CMC è stabile se \ begin {equation} \ int_S | \ nabla u | ^ 2 - (\ kappa_1 ^ 2 + \ kappa_2 ^ 2) u ^ 2 \, dS \ ge 0, \ \ \ \ text { per tutti} u \ in W ^ {1,2} _0 (S), \ end {equation}

Sul cilindro, per qualsiasi $\ell >0$, ritenere $$u_\ell (\theta, z) =\begin{cases} \sin \left( \frac{z}{\ell} \right), & \text{ if } |z|\le \pi \ell, \\ 0, & \text{ otherwise.}\end{cases}$$

Poi $u_\ell \in W^{1,2}_0$, $\int_S u_\ell = 0$ e \begin{align} \int_S|\nabla u_\ell|^2 -(\kappa_1^2+\kappa_2^2)u_\ell^2\,dS &= 2\pi \int_{-\pi\ell}^{\pi \ell} \frac{1}{\ell^2} \left| \cos\left( \frac{z}{\ell} \right)\right|^2 - \frac{1}{4H^2} \left| \sin \left( \frac{z}{\ell} \right)\right|^2 \, dz \\ &= 2\pi \left(\frac{1}{\ell^2} - \frac{1}{4H^2}\right) \int_{-\pi\ell}^{\pi \ell} \left| \cos\left( \frac{z}{\ell} \right)\right|^2 \, dz. \end{align}

Questo termine può essere negativo se $\ell > 2H$. Quindi il cilindro è instabile.