Un gruppo risolvibile finito non banale ha un sottogruppo dell'indice di potenza primo per ogni divisore primo?
È noto che ogni sottogruppo massimale di $G$ è dell'indice di potenza principale se $G$ è un gruppo risolvibile finito non banale.
La mia domanda è: possiamo dimostrarlo per ogni numero primo$r\in\pi(G)$ esiste un sottogruppo massimo di $G$ di indice una potenza di $r$?
Ho provato a dimostrarlo ma ho scoperto di aver commesso un errore nella mia dimostrazione. Ecco il mio tentativo:
Definire $$\pi^*:=\{r\in\pi(G)\mid~\mbox{There is no maximal subgroup }H\mbox{ of }G\mbox{ such that }|G:H|\mbox{ is a power of }r\}.$$ Lo affermiamo $\pi^*$è un insieme vuoto. Assumilo$\pi^*$non è vuoto. Quindi gli indici dei sottogruppi massimi sono esattamente potenze di numeri primi in$\pi(G)\setminus\pi^*$. Prendi un Sylow$q$-sottogruppo $S_q$ per ciascuno $q\in\pi(G)$. Per$p\in\pi(G)\setminus\pi^*$, prendi un sottogruppo massimale arbitrario $M$ di $G$ tale che $|G:M|$ è un potere di $p$. abbiamo$$\left|\prod_{q\in\pi(G)\setminus\pi^*}S_q\right|_p=|G|_p>|M|_p.$$ Lo implica $\prod\limits_{q\in\pi(G)\setminus\pi^*}S_q$ non è contenuto in alcun sottogruppo massimale di $G$. Ma$\prod\limits_{q\in\pi(G)\setminus\pi^*}S_q$ è propriamente contenuto in $G$, che è una contraddizione.
Il mio errore :$\prod\limits_{q\in\pi(G)\setminus\pi^*}S_q$ non è necessariamente un sottogruppo di $G$, quindi in effetti non posso ottenere alcuna contraddizione.
Potresti darmi qualche idea? Penso che forse dovrei provarlo in un modo diverso. Qualsiasi aiuto è apprezzato. Grazie!
Risposte
Questo è il teorema di Hall sui gruppi solubili. Afferma:
Un gruppo finito è solubile se e solo se, per ciascuno $p\mid |G|$, esiste un file $p'$-sottogruppo $H$ il cui indice è un potere di $p$.
Un sottogruppo $H$ tale che $|H|$ e $|G:H|$sono coprimi è chiamato sottogruppo Hall e if$\pi$ è un insieme di numeri primi tale che $p\in \pi$ divide $|G|$ se e solo se divide $|H|$, poi $H$ è una sala $\pi$-sottogruppo.
Dimostrarlo senza suggerimenti è un po 'una sfida. Puoi cercarlo nel tuo libro di testo preferito o seguire lo schema qui sotto per l'unica direzione. Permettere$\pi$ essere un insieme di numeri primi e miriamo a dimostrare l'esistenza di una sala $\pi$-sottogruppo in $G$.
- Permettere $K$ essere un sottogruppo normale minimo di $G$. Se$K$ è un $\pi'$-sottogruppo quindi tutto è fatto.
- Se $K$ è un $p$-sottogruppo per $p\in \pi$, quindi puoi usare il teorema di Schur-Zassenhaus per l'anteprima di una sala $\pi$-sottogruppo in $G/K$.
Puoi trovare una dimostrazione completa qui , p.28.
Sì, per ogni insieme di numeri primi il gruppo risolvibile finito contiene un sottogruppo di Hall il cui ordine è divisibile solo per questi numeri primi e l'indice non è divisibile per nessuno di essi. Ora prendi l'insieme di tutti i numeri primi che dividono l'ordine del gruppo tranne uno. Un sottogruppo Hall corrispondente è ciò di cui hai bisogno.
https://en.m.wikipedia.org/wiki/Hall_subgroup