Un sottoinsieme denso per ciascuno dei due insiemi di Banach rispettivamente

Aug 19 2020

Permettere $A$ e $B$essere spazi di Banach con le proprie (possibilmente diverse) norme. Inoltre, c'è un sottoinsieme non vuoto$S \subset A \cap B$ tale che $S$ è denso $A$ e $B$ rispettivamente.

Quindi, per $x \in A\cap B$, possiamo sempre estrarre una sequenza $\{s_n\} \subset S$ tale che $s_n \to x$ in $A$ e $s_n \to x$ in $B$?

Questa domanda è generalizzata dalla situazione $A = L^1(\mathbb{R}^n)$, $B = L^2(\mathbb{R}^n)$ e $S = \mathcal{S}(\mathbb{R}^n)$, nel qual caso, possiamo trovare una sequenza che soddisfa le condizioni di cui sopra.

Apprezzerei se mi aiutassi!

Risposte

StephenMontgomery-Smith Aug 21 2020 at 11:41

Ecco il mio controesempio proposto. È ispirato considerando il duale dell'esempio dato nel Teorema 2 dihttp://faculty.missouri.edu/~stephen/preprints/interpolate.html.

Permettere $$ Z = L^1([0,1]) \oplus L^1([0,1]) \oplus L^1([0,1]). $$ Permettere $A$, $B$ essere sottospazi di $Z$ tali che le seguenti norme siano finite: $$ {\|(f,g,h)\|}_{A} = {\|f-g\|}_\infty + {\|g\|}_1 + {\|h\|}_\infty ,$$ $$ {\|(f,g,h)\|}_{B} = {\|f-h\|}_\infty + {\|g\|}_\infty + {\|h\|}_1 .$$ Entrambi gli spazi sono isomorfi a $L^\infty([0,1]) \oplus L^\infty([0,1]) \oplus L^1([0,1])$, quindi sono spazi di Banach.

Possiamo calcolarlo $$ {\|(f,g,h)\|}_{A \cap B} := \max\{{\|(f,g,h)\|}_{A},{\|(f,g,h)\|}_{B}\}\approx {\|f\|}_\infty + {\|g\|}_\infty + {\|h\|}_\infty ,$$ perché $$ {\|(f,g,h)\|}_{A \cap B} \le {\|(f,g,h)\|}_{A} + {\|(f,g,h)\|}_{B} \le 3 ({\|f\|}_\infty + {\|g\|}_\infty + {\|h\|}_\infty) ,$$ e \begin{align} {\|(f,g,h)\|}_{A \cap B} &\ge \tfrac12({\|(f,g,h)\|}_{A} + {\|(f,g,h)\|}_{B}) \\&\ge \tfrac14{\|f-g\|}_\infty + \tfrac14{\|f-h\|}_\infty + \tfrac12{\|g\|}_\infty + \tfrac12{\|h\|}_\infty \\&\ge \tfrac14({\|f\|}_\infty-{\|g\|}_\infty) + \tfrac14({\|f\|}_\infty-{\|h\|}_\infty) + \tfrac12{\|g\|}_\infty + \tfrac12{\|h\|}_\infty \\&\ge \tfrac14 ({\|f\|}_\infty + {\|g\|}_\infty + {\|h\|}_\infty) .\end{align} Quindi $$ A \cap B = L^\infty([0,1]) \oplus L^\infty([0,1]) \oplus L^\infty([0,1]) .$$ Permettere $$ S = C([0,1]) \oplus L^\infty([0,1]) \oplus L^\infty([0,1]). $$ Chiaramente $S$ non è denso $A \cap B$. Noi mostriamo$S$ è denso $A$, come argomento per $S$ denso $B$ è essenzialmente identico.

Supponiamo $x = (f,g,h) \in A$ con ${\|x\|}_A \le 1$, questo è, $$ {\|(f,g,h)\|}_A = {\|f - g\|}_\infty + {\|g\|}_1 + {\|h\|}_\infty \le 1.$$ Nota che $f-g\in L^\infty \subset L^1$, e $g\in L^1$, il che implica $f \in L^1$. Permettere$f_n \in C([0,1])$ essere tale ${\|f-f_n\|}_1 \to 0$. Impostato$$ s_n = (f_n, g - f + f_n,h) .$$ Nota $g - f + f_n = (g-f) + f_n \in L^\infty([0,1])$, così $s_n \in S$. Quindi come$n \to \infty$, $$ {\|x - s_n\|}_A = {\|(f-f_n, f-f_n, 0)\|}_A = {\|f-f_n\|}_1 \to 0. $$