Una domanda in risposta di un utente nella domanda ogni biiezione$f:\mathbb{R}\to[0,\infty)$ha infinite discontinuità
Questa particolare domanda:
Dimostra che ogni biiezione$ f:\mathbb{R} \to [0,\infty)$ha infiniti punti di discontinuità.
è stato chiesto in un mio quiz.
Impossibile risolverlo, ho cercato su MSE. Ho trovato questa particolare soluzione.
Punti di discontinuità di una funzione biunivoca$f:\mathbb{R} \to [0,\infty)$
Ma ho una domanda in soluzione. Ma sia chi chiede che chi risponde non si vedono sul sito da molto tempo.
Quindi sto ponendo il mio dubbio come una domanda separata:
Nella terza riga di risposta fornita nel link sopra, come lo deduce l'autore$f(I_m)$è un intervallo aperto? Significa che$f$associa gli intervalli aperti agli intervalli aperti? Come mai?
Qualcuno può per favore dare una risposta rigorosa?
Risposte
Se$f$è continua e iniettiva su un intervallo aperto$(a,b)$poi$f$è monotono. Supponiamo$f$sta aumentando. Per IVP di funzioni continue l'immagine è un intervallo, chiamalo$I$. Supponiamo che questo intervallo contenga uno dei suoi estremi. Dire$I=[t,s)$. Quindi$t=f(x)$per alcuni$x \in (a,b)$. Scegline uno qualsiasi$s$fra$a$e$x$. Quindi$f(s) <f(x)=t$una contraddizione. Allo stesso modo,$I$non può contenere il suo punto finale destro.
Un intervallo aperto è un insieme connesso e$f$è continuo, quindi$f[I_m]$è connesso. Gli unici sottoinsiemi connessi della linea reale sono gli intervalli (aperti, semiaperti o chiusi), i raggi (aperti o chiusi) e$\Bbb R$stesso, quindi$f[I_m]$. Se non hai familiarità con la nozione topologica generale di connessione, puoi usare il teorema del valore intermedio per dimostrarlo$f[I_m]$deve essere di uno di questi tipi. Il punto cruciale è che questi sono i sottoinsiemi convessi di$\Bbb R$: Se$x$e$y$sono membri di uno di questi insiemi, e$x<z<y$, poi$z$è anche un membro di quell'insieme.
Come si nota nella dimostrazione,$f\upharpoonright I_m$, essendo continuo e iniettivo, è (strettamente) monotono, quindi o è rigorosamente a conservazione dell'ordine o rigorosamente a inversione dell'ordine. Da$I_m$è un intervallo aperto o raggio aperto, questo significa che$f[I_m]$deve anche essere un intervallo aperto o un raggio aperto: se avesse un estremo, quell'estremo dovrebbe essere l'immagine di un estremo di$I_m$.