Una sottigliezza nel problema del brachistocrono

Aug 20 2020

Quello che segue è un esempio specifico del problema del brachistocrono, che ho incontrato per la prima volta all'università, e che ho usato occasionalmente come problema hardware nell'insegnamento della CM.

Una particella viene avviata dal riposo all'origine e costretta a cadere sotto la gravità lungo un percorso $y(x)$ che passa per il punto $x=5$, $y=-1$(in unità arbitrarie, ad esempio metri). Assumeremo che il potenziale gravitazionale sia lineare,$V=mgz$.

a) Determina il percorso che riduce al minimo il tempo impiegato. Crea una trama di quel percorso.

b) C'è un altro percorso che rende fermo il tempo impiegato? Se sì, crea una trama di quel percorso e spiega se questo percorso è un minimo, un massimo o un punto di sella.

La soluzione al problema del brachistocrono è ovviamente molto nota, quindi questo compito consiste proprio nel trovare una cicloide specifica che soddisfi le condizioni al contorno. Come indica la parte b, ce n'è più di una: la cicloide standard e due cicloidi che `` rimbalzano ''.

Ora è chiaro che la semplice cicloide è il minimo assoluto, perché il tempo di attraversamento è proporzionale all'angolo tracciato. Ma per quanto riguarda gli altri due? Ingenuamente dovrebbero essere selle, ma la seconda variazione dell'azione funzionale è manifestamente positiva, indicando che sono minimi locali. Ma non può essere vero, a meno che non ci sia qualcosa di divertente nella topologia dello spazio dei percorsi. I punti di sella o minimi delle cicloidi più alti?

PS: Per vedere che le cicloidi superiori non possono essere facilmente liquidate come soluzioni, considera questo grafico delle componenti della velocità $(v_x,v_y)$ in funzione del tempo per la seconda cicloide.

Le componenti corrispondenti dell'accelerazione sono:

Chiaramente, l'accelerazione (e le forze di costrizione) sono perfettamente fluide.

Risposte

5 Qmechanic Sep 06 2020 at 04:33

TL; DR: un percorso costruito a tratti da più di 1 cicloide (ognuna con un'energia possibilmente diversa$E$, vedi sotto), e con le cuspidi al $x$-axis, non è stazionario.

Prova abbozzata:

  1. Ricorda che l'azione (= tempo trascorso) del problema del brachistocrono è$$S~=~\int_0^a\! \mathrm{d}x~L,\qquad L~=~\sqrt{\frac{1+y^{\prime 2}}{y}},\qquad y~\geq~ 0,\tag{1}$$ con condizioni al contorno $y(0)=0$ e $y(a)=b$. (Qui il file$y$-l'asse è rivolto verso il basso e abbiamo scelto per semplicità unità di tempo e spazio tali $2g=1$.)

  2. Fisicamente, chiediamo che il percorso $x\mapsto y(x)$è almeno continuo. Matematicamente, l'integrando dovrebbe essere integrabile con Lebesgue. Per essere il più semplice possibile ma anche per incorporare gli esempi di OP, troveremo un comodo compromesso e assumeremo che il percorso$x\mapsto y(x)$è differenziabile in modo continuo a tratti , anche se consentiremo la derivata$y^{\prime}\equiv \frac{dy}{dx}$ diventare singolare nei punti tra i pezzi fintanto che l'integrando rimane integrabile Lebesgue.

  3. Ne consegue che un percorso stazionario soddisfa necessariamente l' equazione di Eulero-Lagrange (EL) all'interno di ogni brano. Possono verificarsi condizioni aggiuntive nei punti tra i pezzi.

  4. Dal momento che la lagrangiana $L$ non ha alcun esplicito $x$-dipendenza viene conservata la corrispondente nozione di energia (all'interno di un brano): $$E~=~ y^{\prime} \frac{\partial L}{\partial y^{\prime}}-L~\stackrel{(1)}{=}~-\frac{1}{\sqrt{y(1+y^{\prime 2})}}~<~0.\tag{2}$$

  5. La soluzione del pezzo è una cicloide: $$\begin{align} 2E^2x~=~&\theta-\sin\theta~\approx~\frac{\theta^3}{6},\cr 2E^2y~=~&1-\cos\theta~\approx~\frac{\theta^2}{2},\end{align}\tag{3}$$dove l'approssimazione è valida vicino alla cuspide. L'equazione della cuspide diventa$$ y~\stackrel{(3)}{\propto}~ x^{2/3}.\tag{4}$$ Vicino alla cuspide, la particella sta eseguendo un movimento in caduta libera, che è regolare in funzione del tempo $t$.

  6. L'idea è ora di troncare la cuspide a un certo livello orizzontale $y=\epsilon\ll 1$, cioè in alcuni $x~\propto~ y^{3/2}~=~\epsilon^{3/2}$. (Consideriamo per semplicità solo il ramo destro della cuspide - il ramo sinistro è simile.) L'azione della cuspide è$$L~\stackrel{(1)+(2)}{=}~\frac{1}{|E|y}~\stackrel{(4)}{\propto}~ x^{-2/3}\qquad\Rightarrow\qquad S~\propto~x^{1/3} ~\propto~\epsilon^{1/2}.\tag{5}$$ Per confronto, l'azione del percorso orizzontale è come previsto più veloce: $$L~\stackrel{(1)}{=}~\frac{1}{\sqrt{y}}~=~ \frac{1}{\sqrt{\epsilon}}\qquad\Rightarrow\qquad S~\propto~\frac{x}{\sqrt{\epsilon}} ~\stackrel{(4)}{\propto}~\epsilon.\tag{6}$$ Questo mostra che possiamo cambiare l'azione al primo ordine in $\epsilon$, e quindi il percorso non è stazionario. $\Box$