Una versione del teorema di Hurwitz

Question

Domanda : Let$\{f_n\}$ essere una sequenza di funzioni analitiche in $\mathbb{C}$ che convergono uniformemente su sottoinsiemi compatti di $\mathbb{C}$ a un polinomio $p$ di grado $m$. Dimostralo per$n$ grande abbastanza, $f_n$ ha almeno $m$ zeri (conteggio delle molteplicità).

Tentativo : so che questa è una versione del teorema di Hurwitz, ma non voglio dire semplicemente "di Hurwitz". Se$f_n$ è identico $0$, quindi il problema è banale, quindi supponiamo che non sia così. Per qualsiasi punto$z_0\in\mathbb{C}$, C'è un $r>0$, tale che $0<|z-z_0|\leq r$. Permettere$|z-z_0|=r$ essere il cerchio $C$. Quindi, per convergenza uniforme su$C$ (da $C$ è compatto in quanto è un cerchio) che abbiamo $\frac{1}{f_n(z)}\rightarrow\frac{1}{p(z)}$, e $\frac{1}{f'_n(z)}\rightarrow\frac{1}{p'(z)}$. Così,$$\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{2\pi i}\int_C\frac{f'_n(z)}{f_n(z)}dz=\frac{1}{2\pi i}\int_C\frac{p'(z)}{p(z)}dz.$$ Pertanto, poiché l'integrale sul lato sinistro fornisce il numero di zeri di $f_n(z)=0$ dentro $C$, Lo vediamo $f_n$ e $p$ hanno lo stesso numero di zeri all'interno $C$. Locazione$r\rightarrow\infty$ dà il risultato $\mathbb{C}$.

Vedi qualcosa di sbagliato nella prova? In particolare, sta succedendo qualcosa con "per$n$ abbastanza grande "o" conteggio multiplicite "parti del problema a cui dovrei prestare attenzione? Qualsiasi aiuto è molto apprezzato! Grazie.

Answer 1

Ci sono alcuni problemi con il tuo argomento:

Per qualsiasi punto $z_0\in\mathbb{C}$, C'è un $r>0$, tale che $0<|z-z_0|\leq r$.

Cosa è $z$ Qui?

Quindi, per convergenza uniforme su $C$ (da $C$ è compatto in quanto è un cerchio) che abbiamo $\frac{1}{f_n(z)}\rightarrow\frac{1}{p(z)}$, ...

Ne hai bisogno $p(z) \ne 0$ sopra $C$ per questa conclusione.

... e $\frac{1}{f'_n(z)}\rightarrow\frac{1}{p'(z)}$.

Può essere, ma quello di cui hai bisogno è quello $f_n'(z) \to p'(z)$ sopra $C$.

Comincerei come segue: in primo luogo, possiamo presumere che il grado $m$ di $p$ è almeno uno (altrimenti non c'è niente da mostrare), quindi $p$è un polinomio non costante. Quindi scegli$r > 0$ così grande che tutte le radici di $p$ sono dentro $\{ |z| < r \}$. Ora considera il cerchio$C$ centrato all'origine con raggio $r$. Nota che$p$ è diverso da zero $C$.

Finalmente dimostralo $f_n'/f \to p'/p$ uniformemente $C$e applicare il principio dell'argomento.