Usa il teorema dei fattori per trovare tutti gli zeri del polinomio $2x^3+3x^2+x+6$ con un fattore noto $x+2$

Question

Devo trovare i fattori di $2x^3+3x^2+x+6$ dove mi è stato detto$x+2$uno dei fattori. Usare la divisione sintetica per dividere$2x^3+3x^2+x+6$ di $x+2$ Confermo che non ci sono resto quindi è zero e il nuovo quoziente è $2x^2-x+3$

Quindi ho: $(x+2)(2x^2-x+3)$

Vorrei ora fattorizzare $(2x^2-x+3)$ma sto attraversando un periodo difficile. Poiché il mio coefficiente guida non è 1, so che per scomporre in fattori devo trovare due numeri la cui somma è -1 e il cui prodotto è 6 (coefficiente guida 2 * termine costante 3).

Non ne trovo quindi non so come procedere con il factoring $(2x^2-x+3)$.

Ho considerato:
-1 e 6: prodotto = -6, somma 5
1 e -6: prodotto = -6, somma -5
2 e -3: prodotto = -6, somma -1 # chiudi
-2 e 3: prodotto = -6, somma 1 # chiude anche
-2 e -3: prodotto = 6, somma 5

Come posso fattorizzare $(2x^2-x+3)$?

Answer 1

$2x^2-x+3=2(x^2-\frac{1}{2}x+\frac{3}{2})$ dove si trova il discriminante $\Delta=(\frac{-1}{2})^2-4\times 1\times \frac{3}{2}=\frac{1}{4}-6<0$. Perciò$x^2-\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}$ non ha radici reali e quindi è un polinomio irriducibile over $\mathbb{R}$.