Usare i differenziali (non le derivate parziali) per dimostrare che d𝜃 / dx = -sin (𝜃) / r [duplicato]

Question

Sto cercando di dimostrare le parti di ogni componente della matrice inversa nell'immagine allegata. Ho provato a usare i differenziali e poi a risolvere per gli altri componenti. (Mi piacerebbe risolverlo in questo modo). Cercando di risolvere, ad esempio,$\frac{d\theta}{dx}$ (in basso a sinistra della matrice inversa [allegato sotto]) $$x = r cos(\theta)$$ -> $$dx = cos(\theta)dr - rsin(\theta)d\theta$$Poi osservando che stiamo trattenendo $r = constant$, così $dr = 0$. Lo capisco$\frac{d\theta}{dx} = \frac{- 1}{r sin(\theta)}$, che è vicino. L'ho messo in una calcolatrice parziale e l'ho fatto$\theta$ una funzione di x e r, $\theta = cos^{-1}\left(\frac{x}{r}\right) = \cos^{-1}\left(\frac{x}{\sqrt{x^2 +y^2}}\right)$. Prendendo il$\frac{\partial \theta}{\partial x}$Ottengo la risposta giusta perché r è una funzione di x e y. Se uso il file$cos^{-1}\left(\frac{x}{r}\right)$ e prendo il parziale ottengo quello che ho detto sopra ($\frac{d\theta}{dx} = \frac{- 1}{r sin(\theta)}$). Inoltre ho provato a sostituire dr in$dx = cos(\theta)dr - rsin(\theta)d\theta$ usando $r^2=x^2+y^2$ sostituendo dr con $rdr = xdx + ydy$dove pensavo che dy fosse costante. Il che mi ha dato la risposta sbagliata. Vorrei migliorare il mio pensiero logico, quindi anche qualsiasi consiglio su ciò che ho fatto sarebbe fantastico. Grazie!

Riepilogo: sto cercando di dimostrarlo usando differenziali (non parziali) $\frac{d\theta}{dx} = \frac{-sin(\theta)}{r}$

Answer 1

Il problema è che non puoi semplicemente scrivere $\frac{d\theta}{dx}$. In termodinamica, c'è una notazione che è davvero utile e importante. Scrivono le derivate parziali con un pedice per indicare quali variabili sono rimaste fisse. Quindi, ad esempio, se lo abbiamo$z=f(x,y)$ e vogliamo trovare la derivata di $f$ riguardo a $x$, fissaggio $y$, scriviamo $$\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)_y \quad\text{or}\quad \left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)_y.$$ Questo è importante perché potremmo avere molte variabili che volano in giro ed è importante sapere quali variabili sono fisse.

Nel tuo esempio, possiamo pensare $(x,y)$ come funzioni di $(r,\theta)$. Quindi se scriviamo$\partial x/\partial\theta$, questo significa normalmente $\left(\frac{\partial x}{\partial\theta}\right)_r$. Quando aggiusti$r$, allora diventa vero (perché essenzialmente stiamo facendo il calcolo unidimensionale) che $$\left(\frac{\partial\theta}{\partial x}\right)_r = \frac 1{\left(\frac{\partial x}{\partial\theta}\right)_r}.$$ Tuttavia, stai confondendo le cose cercando invece di calcolare $\left(\frac{\partial\theta}{\partial x}\right)_y$, e queste sono due bestie completamente diverse. È davvero necessario essere attenti a tenere traccia delle variabili indipendenti. Se li modifichi, entra in gioco più regola della catena.

Solo per ribadire, stai cercando di confrontare \begin{align*} \left(\frac{\partial\theta}{\partial x}\right)_r &= -\frac1{r\sin\theta} = -\frac1y \quad\text{and} \\ \left(\frac{\partial\theta}{\partial x}\right)_y &= -\frac{y}{x^2+y^2} = -\frac{\sin\theta}r. \end{align*}

A proposito, stai attento. In generale, non abbiamo$\frac{\partial x}{\partial\theta} = \frac1{\frac{\partial\theta}{\partial x}}$. Infatti, da allora$x=r\cos\theta$, noi abbiamo $\partial x/\partial\theta = -r\sin\theta$ (che è $-y$). D'altra parte, da allora$\theta =\arctan(y/x)$ (almeno per $-\pi/2<\theta<\pi/2$), noi abbiamo $\partial\theta/\partial x = -\frac y{x^2+y^2}$, che è molto diverso da $-y$. Questo è tuo$-\sin\theta/r$, ovviamente. La relazione corretta deriva dalle matrici derivate complete (chiamate Jacobiane), che sono inverse$2\times 2$ matrici.

Puoi farlo correttamente con i differenziali (forme differenziali, appunto), ma devi comunque tenere traccia di chi sono le variabili indipendenti. E davvero necessario smettere di scrivere le cose come$d\theta/dx$ salvo che $\theta$è in realtà una funzione solo di una variabile$x$. Per ottenere la tua prima formula, dovresti scrivere$d\theta$ in termini di giusto $dx$ e $dr$; per ottenere il secondo dovresti scrivere$d\theta$ in termini di consueto $dx$ e $dy$. È solo una questione di cosa siano le variabili indipendenti s .