USATST 2013/2 Dimostrare che l'intersezione di $XL$ e $KY$ giace su $BC$.

Aug 20 2020

Permettere $ABC$essere un triangolo acuto. Cerchio$\omega_1$, con diametro $AC$, interseca il lato $BC$ a $F$ (diverso da $C$). Cerchio$\omega_2$, con diametro $BC$, interseca il lato $AC$ a $E$ (diverso da $C$). Ray$AF$ interseca $\omega_2$ a $K$ e $M$ con $AK < AM$. Ray$BE$ interseca $\omega_1$ a $L$ e $N$ con $BL < BN$. Dimostrare quelle linee$AB$, $ML$, $NK$ sono concorrenti

I miei progressi :

Reclamo :$K,M,L,N$ è ciclico

Prova : Let$NM\cap KL=H$. Nota che$H$ sarà l'ortocentro di $ABC$ .

Da POP, $NH\cdot HM= CH\cdot CF=KH\cdot HL$.

Reclamo :$C$ è il centro di $(KMLN)$

Prova : da$CA$ è il diametro, abbiamo CA come bisettrice perpendicolare di $LN$ .

Allo stesso modo $CB$ è la bisettrice perpendicolare di $KM$ .


Ora, voglio solo mostrare che AB è il polare di $H$ wrt $(KLMN)$. Allora per il teorema di Brocard, lo so$NK\cap LM \in AB $.

Risposte

1 Soumik Aug 20 2020 at 12:34

È sufficiente mostrare che il polare di $H$ attraversa $A$ così come $B$. Per simmetria è sufficiente mostrare la polare di$H$ attraversa $A$ o equivalentemente, il polare di $A$ attraversa $H$.

Conosci il polo di $A$ è perpendicolare a $AC$

Osservalo $$AC.AE=AK.AM= AC^2-r^2$$ dove $r$ è il raggio del cerchio $KLMN$.

Riscrivendolo come $$AC^2-r^2= AC.(AC-EC)$$ $$ \implies AC.EC=r^2$$

Così il polare di $A$ wrt $KLMN$ è la linea perpendicolare a $AC$ e passa attraverso $E$. In altre parole è la linea$BE$ e quindi passa attraverso $H$.

Nota: probabilmente c'è una certa disparità tra l'etichettatura nella domanda e quella nel diagramma. La mia risposta segue l'etichettatura del diagramma.