Utilità della geometria differenziale
Di recente mi sono imbattuto in questi libri:
- Geometria differenziale e gruppi di Lie: una prospettiva computazionale
- Geometria differenziale e gruppi di Lie: un secondo corso
Il loro argomento mi incuriosisce molto, poiché mi piacciono molto la topologia/geometria/analisi, ma non avevo intenzione di seguirli poiché voglio anche lavorare in un'area con un'applicazione molto concreta. Tuttavia, sono scettico. Ad un certo punto ho pensato che l'analisi dei dati topologici (TDA) fosse il matrimonio perfetto dei miei interessi, ma ho trovato pochissime prove che quel campo sia effettivamente utilizzato nell'informatica, tanto meno in contesti industriali o comunque più "pratici". Sembra che TDA faccia sentire i matematici più rilevanti per il mondo della scienza dei dati, ma non sono convinto che li renda tali (sentiti libero di contraddirmi se pensi che mi sbagli su questo punto, ma nota che voglio un concreto caso d'uso, non un'argomentazione astratta sulla sua rilevanza). Ho storie simili sulla teoria dei codici, alcuni aspetti della teoria degli insiemi, eccetera. Possono avere rilevanza teorica, ma c'è qualche situazione in cui, nel processo di sviluppo del software, potrebbe essere necessario consultare questi campi? Non ne conosco nessuno.
Quindi ora la mia domanda: esiste un campo pratico dell'informatica che faccia un uso avanzato della geometria differenziale? L'imaging medico, altre immagini, la computer grafica, la realtà virtuale e alcuni altri campi vengono in mente come potenziali aree di applicazione. Nella mia esperienza (certamente limitata), tuttavia, queste aree sembrano utilizzare la geometria 3D di base, l'algebra lineare numerica e talvolta l'analisi numerica delle PDE. Sono tutti argomenti molto carini, ma non richiedono nulla di così astratto come la geometria differenziale.
Grazie in anticipo.
Risposte
Vedo principalmente la geometria differenziale applicata all'informatica nei seguenti sottocampi applicati:
- Computer grafica / Elaborazione della geometria
- Apprendimento automatico/elaborazione del segnale
Per l'elaborazione di computer grafica/geometria, consigliamo di cercare:
- Corso di geometria differenziale discreta di Keenan Crane
- Geometria differenziale discreta per playlist CS
- Compilazione di articoli di geometria differenziale discreta
Per l'apprendimento automatico/l'elaborazione del segnale consigliamo di cercare:
- Apprendimento multiplo
- Geometria dell'informazione
- Elaborazione del segnale non lineare
- Apprendimento profondo geometrico
Controlla anche questa risposta nello scambio di matematica e questa conferenza La geometria differenziale incontra il deep learning
A proposito, la geometria differenziale funzionale è un grande libro.
Se hai trovato interessante la struttura e l'interpretazione dei programmi per computer , ti potrebbe piacere la geometria differenziale funzionale (è degli stessi autori) .
La geometria differenziale è ingannevolmente semplice. È sorprendentemente facile ottenere la risposta giusta con una manipolazione dei simboli poco chiara e informale. Per affrontare questo problema usiamo programmi per computer per comunicare una comprensione precisa dei calcoli in geometria differenziale. Esprimere i metodi della geometria differenziale in un linguaggio informatico li costringe a essere inequivocabili ed efficaci dal punto di vista computazionale. Il compito di formulare un metodo come un programma eseguibile dal computer e di eseguire il debug di quel programma è un potente esercizio nel processo di apprendimento. Inoltre, una volta formalizzata proceduralmente, un'idea matematica diventa uno strumento che può essere utilizzato direttamente per calcolare i risultati.
Tratto da Sussman, Wisdom: Functional Differential Geometry
Al giorno d'oggi, ogni campo che contiene il nome "differenziale" è in qualche modo applicato nelle reti neurali. Per la geometria differenziale, ad esempio, puoi pensare al rendering differenziale nella computer grafica.
Al momento sto lavorando con l'articolo "A Differential Theory of Radiative Transfer" di Zhang et al.