Valuta il limite $\lim_{n \to \infty} \left(3^n+1\right)^{\frac1n} $

Question

Come valuti questo limite di sequenza usando il teorema squeeze / sandwich? $$\lim_{n \to \infty} \left(3^n+1\right)^{\frac1n} $$

Non so davvero da dove cominciare. Ho provato a usare il fatto che$\lim_{n \to \infty} \left(3^n\right)^{\frac1n} = 3$ (che è la risposta corretta) ma non so dove andare da lì.

Grazie!

Answer 1

Abbiamo quello

$$3=(3^n)^{1/n}\le (3^n+1)^{1/n}\le (3^n+3^n)^{1/n}=3\cdot2^\frac1n$$

quindi concludere con il teorema di compressione.

Answer 2

Puoi usare $3=(3^n)^{1/n} \leq(3^n + 1)^{1/n} \leq (3^n+3^n)^{1/n}=2^{1/n}\cdot 3$

Answer 3

Con logaritmo: riscrivi l'espressione come $$ e^{\frac{1}{n}(\log 3^n + \log (1+\frac{1}{3^n})} $$ Il primo termine è $3$. Il secondo ha limiti facili:$$ 0<\log (1+\frac{1}{3^n})<\log 2 $$ e quindi, $$ 1<e^{\frac{1}{n}\log (1+\frac{1}{3^n})}<e^{\frac{\log 2}{n}} \to_n 1 $$

Answer 4

Sta prendendo un modo leggermente diverso $3^n$ fuori da $(3^n+1)^{1/n}$, questo è $$ (3^n+1)^{1/n}=3(1+3^{-n})^{1/n} $$ Ora nota quello $1\leqslant 1+3^{-n}\leqslant 2$ per ogni $n\in \mathbb N $, quindi prendendo dei limiti nella disuguaglianza a cui arriviamo $$ 1\leqslant \lim_{n\to\infty}(1+3^{-n})^{1/n}\leqslant \lim_{n\to\infty}2^{1/n}=1 $$ e così $$ \lim_{n\to\infty}(3^n+1)^{1/n}=\lim_{n\to\infty}3(1+3^{-n})^{1/n}=3 $$

Answer 5

Ritenere $y = (3^n + 1)^\frac{1}{n}$ ora influisce sul logaritmo su entrambi i lati:$$\ln{y} = \frac{\ln{(3^n + 1)}}{n}$$ ovviamente se $n$ va all'infinito possiamo omettere 1 all'interno del logaritmo quindi otteniamo facilmente: $\ln{y} = \ln 3$ quando $n$va all'infinito. quindi la risposta è:$$y = 3$$

Answer 6

Dove $n$ è sufficientemente grande $3^n$ è molto più grande $1$, che può essere trascurato (possiamo notare che $100000000000000000000$ e $100000000000000000001$ sono "quasi" uguali).

Così $3^n+1 \sim_{n \to \infty} 3^n$ dal fatto che $\lim_{n \to \infty} \frac{3^n+1}{3^n}=1$ velocemente e il resto può essere fatto facilmente.

Answer 7

$$ \displaystyle\left(3^{n} + 1\right)^{1/n} = 3\left(1 + {1 \over 3^{n}}\right)^{1/n} = 3\left[\left(1 + {1 \over 3^{n}}\right)^{3^{\large n}}\right]^{1/\left(3^{\large n}n\right)} \,\,\,\stackrel{\mathrm{as}\ n\ \to\ \infty}{\to}\,\,\, \bbox[#ffd,10px,border:1px groove navy]{\large 3} $$