Valuta il seguente limite trigonometrico:

Question

Domanda: valuta il seguente limite $$\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{\sin \left\{\frac{2}{n}\right\}}{\left[2 n \tan \frac{1}{n}\right]\left(\tan \frac{1}{n}\right)}+\frac{1}{n^{2}+\cos n}\right)^{n^{2}}$$ qui {} e [] denotano rispettivamente la funzione della parte frazionaria e la funzione del numero intero più grande.

Risposta: la risposta a questa domanda è data come $1$, il problema deriva da una serie di problemi di pratica avanzata JEE.

Il mio approccio: ho capito che questo è il file $1^{\infty}$ form, quindi ho provato a convertirlo nel form $$e^{\lim_{{n}\rightarrow{\infty}}n^{2}.G(n)}$$ Qui $G(n)$ è la funzione tra parentesi, dopo questo passaggio non sono in grado di procedere come limite nella potenza di $e$ è molto disordinato e non convertibile in una forma standard, per favore aiutatemi.

Answer 1

Utilizzando $\{x\}=x-\lfloor x\rfloor$, abbiamo per $n>2$

$$\begin{align} \sin(\{2/n\})&=\sin\left(2/n-\lfloor2/n\rfloor\right)\\\\ &=\sin(2/n)\cos(\lfloor2/n\rfloor)-\cos(2/n)\sin(\lfloor2/n\rfloor)\\\\ &=\sin(2/n)\\\\ &=2\sin(1/n)\cos(1/n) \end{align}$$

Inoltre, per $n>2$, $\lfloor2n \tan(\frac1n)\rfloor=2$.

Quindi, possiamo scrivere per $n>2$

$$\begin{align} \left(\frac{\sin(\{2/n\})}{\lfloor2n \tan(\frac1n)\rfloor \tan(1/n)}+\frac1{n^2+\cos(n)}\right)^{n^2}&=\left(\cos^2(1/n)+\frac1{n^2+\cos(n)}\right)^{n^2}\\\\ &=\left(1+O\left(\frac1{n^4}\right)\right)^{n^2} \end{align}$$

dopo di che lasciare $n\to \infty$ produce l'ambito limite

$$\lim_{n\to\infty}\left(\frac{\sin(\{2/n\})}{\lfloor2n \tan(\frac1n)\rfloor \tan(1/n)}+\frac1{n^2+\cos(n)}\right)^{n^2}=1$$