Valutare $\int_{1}^{\infty}$ $\frac{1-(x-[x])}{x^{2-\sigma}}$dx dove [x] denota la massima funzione intera e $0<\sigma<1$

Question

Valutare$\int_{1}^{\infty}$ $\frac{1-(x-[x])}{x^{2-\sigma}}$dx dove [x] denota la massima funzione intera e $0<\sigma<1$.

Il mio tentativo: - 1- (x- [x])$\leq 1 \Rightarrow$ $\int_{1}^{\infty}$ $\frac{1-(x-[x])}{x^{2-\sigma}}$dx $\leq$ $\int_{1}^{\infty}$ $\frac {1}{x^{2-\sigma}}$dx = $\frac{1}{1-\sigma}$

$\int_{1}^{\infty}$ $\frac{1-(x-[x])}{x^{2-\sigma}}$dx = $\int_{1}^{2}$ $\frac{1-(x-1)}{x^{2-\sigma}}$dx +$\int_{2}^{3}$ $\frac{1-(x-2)}{x^{2-\sigma}}$dx + ... Ma sull'integrazione non ottengo un valore finito.

Answer 1

Cercando di continuare lungo la tua strada.

Hai scritto $$\int_1^\infty(1-x+\lfloor x\rfloor )\, x^{\sigma -2}\,dx=\sum_{n=1}^\infty \int_n^{n+1}(n+1-x)\,x^{\sigma -2}\,dx=\sum_{n=1}^\infty I_n$$ $$I_n=\int_n^{n+1}(n+1-x)\,x^{\sigma -2}\,dx=\frac{ (n+\sigma )n^{\sigma }-n (n+1)^{\sigma }}{n (1-\sigma) \sigma }=\frac{n^{\sigma -1} (n+\sigma )-(n+1)^{\sigma } } {(1-\sigma)\, \sigma }$$ e qui il problema inizia a essere difficile se non si ha familiarità con la funzione zeta.

Sperando che tu lo sia, il risultato dovrebbe essere $$\frac{1+\sigma\, \zeta (1-\sigma ) } {(1-\sigma) \,\sigma }$$

Answer 2

Questa non è una risposta completa, ma si spera che fornisca alcune informazioni:

Permettere $f(x) = \frac{1-(x-\lfloor x\rfloor)}{x^{2-\sigma}}$, quindi come $0\leqslant x-\lfloor x\rfloor<1$ e $x^{2-\sigma}>0$, $f$ non è negativo su $[1,\infty)$. Quindi dal teorema di Tonelli,$$ \int_1^\infty f(x)\ \mathsf dx = \int_1^\infty \sum_{n=1}^\infty f_n(x)\ \mathsf dx = \sum_{n=1}^\infty \int_n^{n+1} f_n(x)\ \mathsf dx, $$ dove $f_n(x) = f(x)\cdot\mathsf 1_{[n,n+1)}$. Per induzione (la parte difficile), possiamo dimostrarlo$$ \int_n^{n+1} f_n(x)\ \mathsf dx = \frac{n^{\sigma -1} (n+\sigma )-(n+1)^{\sigma }}{\sigma(1-\sigma)}. $$ Quindi $$ \int_1^\infty f(x)\ \mathsf dx = \frac{1+\sigma\, \zeta (1-\sigma ) } {(1-\sigma) \,\sigma }, $$ dove $$ \zeta(s) := \sum_{n=1}^\infty \frac1{n^s} $$ è la funzione zeta di Riemann.