1.2次元の位相的場の理論 $.$

セットが与えられた場合、TQFTが複数あるとは思わない $\lambda_i$。私は間違っているかもしれませんが、私は私の理由を説明しようとします。

理論における観測量の空間は、境界状態の空間です。相関関数に演算子を挿入することは、指定された境界条件を持つ境界をサーフェスに挿入することです。私たちは次のようなものを書くことができます$$ \langle\mathcal{O}_{i_1}\cdots\mathcal{O}_{i_n}\rangle=Z[M_{g,n};\ i_1,i_2,\ldots,i_n] $$ ここで、RHSは、属を持つ多様体上の経路積分です。 $g$ そして $n$ それぞれによってラベル付けされた境界条件を持つ円境界コンポーネント $i_k$。

このインデックス $i$境界条件を超えて実行することは、\ begin {equation} Z [M_g] = \ sum_i \ lambda_i ^ {-\ frac {1} {2}（2-2g）}、\ end {を記述した式で合計されたのと同じインデックスです。式}もちろん、基礎の変化、まで。オブザーバブルの適切な基準を選択し、オブザーバブルを適切にスケーリングすると、\ begin {equation} \ langle \ mathcal {O} _ {i_1} \ cdots \ mathcal {O} _ {i_n} \ rangle = Z [を取得できます。 M_ {g、n}; \ i_1、i_2、\ ldots、i_n] = \ delta_ {i_1i_2 \ cdots i_n} \ lambda_ {i_1} ^ {-\ frac {1} {2}（2-2g-n）} \ end {equation}は次の式の一般化です$Z[M_{g}]$境界のある多様体の場合に。2つの境界の境界条件をトレースすることで、上記の式が正しいことを確認できます。これは、2つの境界を接着するのと同じである必要があります。上記の式を考えると、相関関数でさえ、$\lambda_i$。

彼の答えの中で、ライアン・ソーングレンは、2つの一見異なるTQFTが同じであるという反例の可能性を示しています $\lambda_i$、すなわち $\lambda_i=1$。問題の2つの代数はグループ代数です$\mathbb{C}[G]$ そして $\mathbb{C}[G']$ どこ $G\neq G'$ アーベル群は $|G|=|G'|$。の基礎を構築する$\mathbb{C}[G]$ 沿って $$ e_q\equiv \sum_{g\in G}\chi_q(g)g\in \mathbb{C}[G] $$ どこ $\chi_q$ の還元不可能な文字です $G$、ラベル付き $q$。それを示すのは簡単です$e_q\star e_p = \left|G\right|\delta_{qp}\delta_q^r e_r$。したがって、代数の乗算によって保持されるグループに関する唯一の情報は$|G|$。コユニット$\epsilon$（ライアンが提供したリンクを参照）これに基づいて$\epsilon(e_q)=\chi_q(1_G)/|G|=1/|G|$、同様に、以外のグループデータは含まれていません $|G|$。したがって、一見異なるフロベニウス代数$\mathbb{C}[G]$ そして $\mathbb{C}[G']$ 実際には同じです。

AccidentalFourierTransformのコメントに応じて編集します。私はこのようなことの多くを自分で学んでいるので、一粒の塩で次のことを考えてください。おそらく最初に明らかにすべきだった事実です。

したがって、線演算子は、円のヒルベルト空間に作用するものになるため、 $\mathcal{O}_i$演算子。ヒルベルト空間でのその作用を行列で表すことができます$W_{ji}$。行演算子を簡単に挿入する$\hat{W}$、関連する行列 $W_{ji}$、属に $g$ 分配関数は $$ \langle \hat{W}\rangle_{g} = \sum_{ij}W_{ji}\langle \mathcal{O}_j\mathcal{O}_i \rangle_{g-1}. $$繰り返しになりますが、よくわかりませんが、ここでとることができる2つの視点があると思います。行演算子の代数にすべてを含めることを許可する場合$N\times N$ 行列 $W_{ij}$、 （どこ $N$ はヒルベルト空間次元です）、TQFTの間に区別はありません。 $\lambda_i$。一方、線演算子の代数をすべての部分代数とすると、$N\times N$ 言い換えると、行列は行演算子の内容を選択します。その選択により、他の点では同じである理論が区別されます。

2番目のオプションの例として、ゲージグループがあるとします。 $G$対応するウィルソンラインのみをライン演算子として使用します。ヒルベルト空間の基礎として、明確なホロノミーを持つ州を取り上げます。この基準では、ウィルソン線はすべて対角であるため、行列の代数の部分代数を構成します。$W_{ij}$つまり、対角行列の部分代数です。

考えられるすべての行列を含めることができなかった理由がわかりません$W_{ij}$あなたがしたい場合。結局のところ、バイローカル演算子$\sum_{ij}W_{ji}\mathcal{O}_j\mathcal{O}_i$ 明確に定義されているようで、 $\hat{W}$上記のルールにより、理にかなっており、ライン演算子のように機能するオブジェクトを提供するようです。しかし、私がここで見逃しているものがあるかもしれません。

この区別がいつ/重要かどうかはわかりません。したがって、ラインオペレーターのコンテンツは同じTQFTを区別できると言うのは非常に正しいかもしれません$\lambda_i$。そうは言っても、同じ2つのTQFTがある場合$\lambda_i$ 共通の行演算子がある場合（どちらの理論でもヒルベルト空間で同じアクションを持つという意味で）、上記のルールにより、挿入に対して同じ値が得られます。

答えはノーだと思います。編集：私はジョン・ガーディナーに任せます、私の元の答えは以下の通りです

2d TQFTは、カップ/キャップとズボンのペアによって生成される、関連するフロベニウス代数によって分類されることが知られています。代数です$A$ 掛け算で $\mu:A \otimes A \to A$、共乗算 $\delta: A \to A \otimes A$、および他のいくつかのもの。

あなたがリンクしている論文が論じているのは、 $\lambda_i$ 自己準同型の固有値です $\mu \circ \delta$、これは2回パンクしたトーラスに関連付けられたマップです（これにより、分配関数の式がどこから来ているのかが明確になります）。これらの固有値、またはこのマップでさえフロベニウス代数を決定しない理由は、いわゆる特別なフロベニウス代数が存在するためです。$\mu \circ \delta = id$。見るhttps://ncatlab.org/nlab/show/Frobenius+algebra#special_frobenius_algebras 。

そのnlabページの例が物理的に意味するのは、自発的に破れた有限対称性がある場合だと思います $G$、次に、すべての表面の分配関数が1である2d TQFTを定義できますが、TQFTは次のグループ法則を記憶しています。 $G$。