1点のみのファイバーは、フィールドの仕様と同形です。
しましょう $R$ そして $T$団結した可換環であること。しましょう$Q$ の素イデアルになる $R$ そして $\phi:R \to T$。仮定します $T \otimes_R (R_Q/Q R_Q)$素イデアルは1つだけです。次に、\ begin {array} {cc} T \ otimes_R R_Q / Q R_Q＆\ leftarrow＆T \\ \ uparrow ＆& \ uparrow \\ R_Q / QR_Qの左側の垂直マップを証明したいと思い
ます。 ＆\ leftarrow＆R \ end {array}
は同型です。どうすればこれを証明できますか？
私はこれを証明できると思いました $t \otimes r$、 我々は持っています $t \otimes r = 1 \otimes s$ いくつかのための $s \in R_Q/Q R_Q$、しかしこれは次の場合にのみ機能するようです $t$ の画像にあります $\phi$..。
編集します。コメントに見られるように、尋ねられた質問は正しくないようです。これを実現するために、どのような仮定を追加できますか？マンフォードの証明の詳細を理解しようとしていますhttps://math.stackexchange.com/questions/3774335/the-fibre-of-f-over-y-is-operatornamespec-kappay-given-f-math?noredirect=1&lq=1。ありがとうございました
回答
補題： $f:X\rightarrow Y$スキームの射である。次に$f^{-1}(p) \cong X\times_{Y} \kappa(p)$ セットとして $\kappa (p)$ の剰余体は $p\in Y$。
証明：仮定 $X=\operatorname{Spec}A,Y=\operatorname{Spec}B$ アフィンであり、 $p\in \operatorname{Spec} B$。セットする$S=B\backslash p$。次に、次の1-1の対応があります $$f^{-1}(p)\leftrightarrow\{P\in \operatorname{Spec}A : P\cap B=p \}\leftrightarrow \{P \in \operatorname {Spec}A : P\supseteq pA \ , \ P \cap {B\backslash p}=\phi \} $$ $$\leftrightarrow \operatorname {Spec} \frac{S^{-1}A}{pS^{-1}A} \cong \operatorname {Spec} A\otimes_ B \frac{B_p }{pB_p}=X\times_Y \operatorname {Spec}\kappa(p) $$
ここで、パッチ適用引数を使用して証明を完成させます。
だからあなたはいつ尋ねています $\frac{A_p }{pA_p}$ を想定したフィールドです $\operatorname {Spec} \frac{A_p}{pA_p}$シングルトンです。しましょう$P\in \operatorname {Spec} {A}$ そのようなユニークな素イデアルである $P\cap B\backslash p =\phi $ そして $P\supset pA$。次に$\frac{A_p }{pA_p}$ はフィールドiffです $pA_p =PA_p$、すなわちの最大の理想 $\mathcal O_{Y,p}$ の最大の理想を生成します $\mathcal O_{X,P}$ これはまさにあなたがリンクした質問で与えられたものです。