2つの変数による微積分の正弦限界[多変数-微積分]
以下の制限を解決するにはどうすればよいですか
$$\tag{1} \lim_{(x,y)\to (0,0)} \frac{\sin(x+y)}{x+y}?$$
私のアプローチ：
極座標を使用しました $x = r \cos(\theta)$ そして $y = r \sin(\theta)$
したがって（1）=> $$\tag{2} \lim_{r\to 0} \frac{\sin(r (\cos(\theta) + \sin(\theta))}{r (\cos(\theta) + \sin(\theta))}.$$
そして最初の解決策：
設定しました $w = r (\cos(\theta) + \sin(\theta)$ そうするとき $r\to 0 $ そして $w\to 0$
（2） $\Rightarrow \lim_{w\to 0} \frac{sin(w)}{w}= 1$。
2番目の解決策：ロピタルの定理：
\begin{align} (2) \Rightarrow \lim_{r\to 0} \frac{(\sin(r (\cos(\theta) + \sin(\theta)))'}{(r (\cos(\theta) + \sin(\theta)))'}& = \lim_{r\to 0} \frac{\cos(r (\cos(\theta) + \sin(\theta))*(\cos(\theta) + \sin(\theta))}{\cos(\theta) + \sin(\theta)}\\ & = \lim_{r\to 0} {\cos(r (\cos(\theta) + \sin(\theta))} = \cos(0) = 1. \end{align}
私のアプローチは正しいですか？そうでない場合は、正しい解決策を提供できますか？
回答
あなたはそれを使うことができます $z(x,y)=x+y$ そして $f(t)=\frac{\sin t}{t}$ は連続関数であり、それらの重ね合わせも連続です。
ルーディンW.-数学的分析の原則-（1976）86ページ。定理4.7
仮定します $X,Y,Z$ 距離空間であり、 $E \subset X$、 $f$ マップ $E$ に $Y$、 $g$ の範囲をマップします $f,f(E)$、に $Z$、および $h$ のマッピングです $E$ に $Z$ によって定義されます $h(x)=g(f(x)), x \in E$。場合$f$ ポイントが連続している $p \in E$ そして $g$ その時点で連続している $f(p)$、その後 $h$ で継続的です $p$。
多変量制限の定義から始めましょう：言う $\lim_{(x,\,y)\to(0,\,0)}\frac{\sin(x+y)}{x+y}=L$ と同等です$$\forall\epsilon>0\exists\delta>0\forall(x,\,y)\left(0<\sqrt{x^2+y^2}<\delta\to\left|\frac{\sin(x+y)}{x+y}-L\right|<\epsilon\right).$$これを証明することができます $L=1$ を使用して$$\forall\epsilon>0\exists\delta^\prime>0\forall(x,\,y)\left(0<|x+y|<\delta^\prime\to\left|\frac{\sin(x+y)}{x+y}-1\right|<\epsilon\right).$$選択する必要があります $\delta$ の面では $\delta^\prime$ そう $\sqrt{x^2+y^2}<\delta\to|x+y|<\delta^\prime$。取るだけで十分です$\delta=\delta^\prime/2$（証明は演習です）; 実際、それは取るのに十分です$\delta=\delta^\prime/\sqrt{2}$ （証明は少し難しい練習です）。