2つのiid指数rv間の差の確率関数
私の答えは完全にオフです。私の論理がどこでうまくいかなかったのか教えてください。
ドナルド・トランプとトーリ・ブラックは特定の時間に会うことになっていて、両方とも遅れます $ \sim Exponential(\lambda), i.i.d. $。到着時間差の累積分布関数は何ですか。
しましょう $ X, Y$ 遅くなり、違いがあります $Z = X - Y$。ケースは$z \geq 0$ そして $z < 0 $。
まず、 $ z \geq 0$、
$ F_Z(z) = P(Z\leq z) = P(X-Y \leq z) = 1 - P(X-Y > z) = 1 - P(X>Z+Y)$
Z $\geq 0$、 そう $X \geq 0 $ すべてのために $Y$。
$$\begin{align} F_Z(z) & = 1 - \int_0^\infty(\int_{z+y}^\infty f_{X,Y}(x,y)dx) dy \\& = 1 - \int_0^\infty(\int_{z+y}^\infty \lambda e^{-\lambda y}\cdot\lambda e^{-\lambda x}dx) dy \\& = 1 - \int_0^\infty\lambda e^{-\lambda y}(-e^{-\lambda x}|_{z+y}^\infty) dy \\& = 1 - \int_0^\infty\lambda e^{-2\lambda y}e^{-\lambda z}dy \\& = 1 - e^{-\lambda z}\int_0^\infty \lambda e^{-2\lambda y} \\& = 1 - \frac{1}{2}e^{-\lambda z}\end{align}$$
さて、 $z < 0$、私の計算が非常に間違っていたところ。
同様に、 $F_Z(z) = 1 - P(X-Y > z) = 1 - P(X>Z+Y) $
$Z < 0$、だから $X \geq 0$、 $Y$ する必要があります $Y \geq -Z$、 私もです：
$$\begin{align}F_Z(z) & = 1 - \int_{-z}^\infty(\int_{z+y}^\infty \lambda e^{-\lambda y}\cdot\lambda e^{-\lambda x}dx) dy \\& = 1- \int_{-z}^\infty \lambda e^{-\lambda y}\cdot e^{-\lambda (z+y)}dy \\& = 1 - e^{- \lambda z}\int_{-z}^\infty \lambda e^{-2\lambda y}dy \\& = 1 - e^{-\lambda z}\cdot \frac{1}{2}e ^{2\lambda z} \\& = 1 - \frac{1}{2}e^{\lambda z}.\end{align}$$
したがって、両方の場合の私の答えは、 $z$ 符号。
正しいCDFは教科書に次のように記載されています
$F_Z(z) = 1 - \frac{1}{2}e^{-\lambda z}$ にとって $z\geq 0$ そして $\frac{1}{2}e^{\lambda z}$ にとって $z<0$。
統合するのを忘れました $Y$ 以上 $\int_0^{-z}$ にとって $z<0$、含まれている場合、教科書の答えを与えます。
回答
積分限界が正しくありません。積分領域を描画すると、それは第1象限と線の右側になります$X-Y=z$。統合の順序が次の場合、統合が容易になります$dy dx$。それ以外の場合は、2つの異なる範囲を計算する必要があります。$0\leq y \leq -z$ そして $-z<y<\infty$。積分では、2番目の区間を計算するだけです。
$$\begin{align}P(X>z+Y)&=\int_0^\infty \int_0^{x-z}\lambda e^{-\lambda x}\lambda e^{-\lambda y}dydx\\&=\int_0^\infty \lambda e^{-\lambda x}(1-e^{-\lambda(x-z)})dx\\&=1-e^{\lambda z}\int_0^\infty \lambda e^{-2\lambda x}dx\\&=1-e^{\lambda z}/2\end{align}$$
これにより、 $F_Z(z)=e^{\lambda z}/2$
事件の分析がどこにあるかについてのOPの質問には答えません $z<0$ うまくいかなかったが、代わりに、値が $F_Z(z)$ であると決定されました $1-\frac 12 \exp(-\lambda z)$ いつ $z > 0$。
以来 $X$ そして $Y$iid確率変数であり、密度は$Z = X-Y$ の密度と同じでなければなりません $-Z = Y-X$つまり、密度は偶関数でなければなりません。この結果の1つは、$P(Z>\alpha) = P(Z<-\alpha)$ だから私たちはすぐに \begin{align} P(Z > z) &= \frac 12 \exp(-\lambda z), &z > 0,\\ &{\big \Downarrow}\\ P(Z < -z) &= \frac 12 \exp(-\lambda z), &z > 0,\\ &{\big \Downarrow}\\ P(Z < z) &= \frac 12 \exp(\lambda z), &z < 0,\\ \end{align} など、 $$F_Z(z) = P(Z \leq z) = P(Z < z) = \frac 12 \exp(\lambda z), \,\,\,\ z < 0.$$
実際、この問題は、指数分布がメモリを持たない唯一の連続分布であるという知識から始めれば、積分をまったく計算せずに解決できます。つまり、確率変数の場合$X\sim\text{Expon}(\lambda)$ それからまた $X-a|X>a\sim\text{Expon}(\lambda)$ のために $a>0$。言い換えれば、$X$ドナルド・トランプが到着するまでの時間であり、たとえば10分後に到着しなかった場合、10分を超えて到着するまでの時間も次のように分配されます。$X$。これは直感に反するように思えるかもしれませんが、証明するのは簡単です。
今なら $X,Y$ iidです $\text{Expon}(\lambda)$ それぞれドナルドとトリの到着時刻の場合、確率0.5でドナルドが最初に到着します。 $\text{Prob}(Y>X)=0.5$。ただし、その場合、さらに重要なのは、$Y$ それを教えてくれます $Y-X|Y>X \sim\text{Expon}(\lambda)$ の値が何であれ $X$ したがって $-Z|Y>X$ です $\text{Expon}(\lambda)$。同様に、鳥が最初に到着した場合、確率で$\text{Prob}[X>Y]=0.5$、その後 $Z|X>Y$ また〜だ $\text{Expon}(\lambda)$。2つのケースをまとめると、対称的な結果が得られます。$F_Z(z)$ それは以前に得られたものです。
累積分布関数を要求しましたが、PDFの場合。
にとって $z\geq 0, 0\leq z\leq x <\infty$、 $$\begin{align} f_Z(z) &= \int_z^\infty f_X(x)\cdot f_y(x-z)dx \\ & = \lambda^2 e^{\lambda z}\int_z^\infty e^{-2\lambda x}dx \\ &= \frac{\lambda}{2}e^{-\lambda z} \end{align}$$
にとって $z<0, z< 0\leq x <\infty$、 $$\begin{align} f_Z(z) &= \int_0^\infty f_X(x)\cdot f_y(x-z)dx \\ & = \lambda^2 e^{\lambda z}\int_0^\infty e^{-2\lambda x}dx \\ &= \frac{\lambda}{2}e^{\lambda z} \end{align}$$