2つの位相空間のパスコンポーネントとそれらの製品のパスコンポーネントとの関係。
しましょう $X_1$ そして $X_2$位相空間である。で示しましょう$\pi_0(X)$ のパスコンポーネントのセット $X$。の間に関係があるかどうか知りたいのですが$\pi_0(X_1)$、 $\pi_0(X_2)$、および $\pi_0(X_1\times X_2)$。
私はすでにそれを示しました $\pi_0(X_1)\times \pi_0(X_2)\subset \pi_0(X_1\times X_2)$。他の包含は本当ですか？
ありがとう！
回答
最初に注意することは、これは技術的にはセットの包含ではなく、自然な包含であるということです $(X_i,Y_j) \mapsto X_i \times Y_j$、パス連結空間の積はパス連結であるため。場合$X=A \cup B$、と $A \cap B = \emptyset$、その後、任意のセット $Y$、 $X \times Y = A \times Y \cup B \times Y$これは不潔な要素です。だからもし$Y = \bigcup_i Y_i$ そして $X=\bigcup_j X_j$、 どこ $X_j,Y_i$ パスコンポーネント（互いに素です！）です、私たちはそれを持っています $X \times Y = \bigcup_{ij} X_j \times Y_i$。これらは明らかにのパスコンポーネントです$X \times Y$、異なるポイントにポイントをリンクするパスがある場合、接続するパスがあるため $Y_i$ に $Y_i'$ または $X_j$ に $X_j'$。したがって、自然な全単射が得られます（包含は全射です）$\pi_0(X)\times \pi_0(Y) \rightarrow \pi_0(X \times Y)$ どこ $(X_j,Y_i) \mapsto X_j \times Y_i$。