2つの二乗の和に関するフェルマーの定理（すべての素数 $p$ st $p \not\equiv 3 \pmod 4$ 2つの二乗の和です）
私は次の証明を反映しています（以下を参照）。私の質問は、与えられた事実をどこで使用するかです（$p \not\equiv 3 \pmod 4$）？この事実を利用しているかどうかはわかりませんが、何かがおかしいと思わせてしまいます。あなたの助けを感謝します。
可能な部分的な証明のドラフト。しましょう$p = 3 \pmod 4$素数になります。と仮定する$p = a^2 + b^2$。その後、$a^2 + b^2 = 0 \pmod p$、それを意味する $a^2 = -b^2 \pmod p$。で両側を上げることによって$(p-1)/2$次に、問題セット6で見たフェルマーの小定理を使用して、次のように結論付けます。 $p \mid 2$。
回答
質問にタイプミスがあると思います。場合$p \equiv 1 \pmod{4}$、 $(p-1)/2$ 偶数なので、 $1 \equiv 1 \pmod{p}$これは矛盾ではありません。の時だけ$(p-1)/2$ 奇妙です、あなたは得るでしょう $ 1 \equiv -1 \pmod{p}$。
ヒント：すべての完璧な正方形は合同です $\ 0\ $ または $\ 1\ $ モジュロ $\ 4\ $。これは、ケースごとに簡単に示すことができます。そしてこれから、形の素数は簡単にわかります$\ 4k+3\ $ 2つの完全な二乗の合計にすることはできません。
問題は、その事実をどこで使用しているのかということです。 $p\equiv 3\mod 4$。回答：あなたは次の事実を使用しています$(p-1)/2$ 奇妙なので
$$(-b^2)^{\frac{p-1}{2}}=-1\mod p.$$
それは次の場合にのみ当てはまります $p\equiv 3\mod 4$