2つの自然数の間の平方数
Aug 18 2020
与えられた自然数 $m>n\in \mathbb{N}$ 間にある正方形の数 $m$ そして $n$？つまり、自然数の数$k\in \mathbb{N}$ それを満たす $n \leq k^2\leq m$？
最大の広場を知っていたら $k^2=s\leq m$ と最小の正方形 $\tilde k^2=\tilde{s}\geq n$、それなら私が探している正方形の数は $k-\tilde{k}+1$、しかし、これらの正方形を見つける簡単な方法はありますか？サイズの関数である境界で大丈夫でしょう$m-n$。
回答
3 gemspark Aug 18 2020 at 15:50
2つの自然数の間の平方数 $m$ そして $n$ = $\begin{align} \lfloor \sqrt{m} \rfloor - \lceil \sqrt{n} \rceil + 1\end{align}$。
証明：レッツ$\begin{equation} n \leq a^2 \leq k^2 \leq (a+s)^2 \leq m \end{equation}$ どこ $a$ は、平方が以上の最小の自然数です。 $n$ そして $a+s$ は、平方がm以下の最大の自然数です。
さて、簡単な観察から、 $\begin{equation} a = \lceil \sqrt{n} \rceil \end{equation}$ そして $\begin{equation} a+s = \lfloor \sqrt{m} \rfloor \end{equation}$ 2つの自然数の間の平方数は $s+1$。