21位のメタサイクリックグループの実現
非アーベル群の位数を理解したい $pq$ （と $q | p-1$）より良い。ために$q=2$ これは私が快適な二面体群です。
それぞれについて $pq$私はこれらのグループの1つだけがあることを知っています。半直積です。そのシローの構造は$n_q = p$ そして $n_p = 1$。私はそれらについてあまり知りません。
次の興味深いグループ注文21、39、55、57、93を計算しました。21について質問します。
次数21の非アーベル群の対称性は何ですか？
私はこれを研究してきましたが、良い答えは見つかりませんでした。多面体やねじれたパズルの回転の対称性ではないと思います。ファノ平面には7本の線と各線に3つの点があるのを見ましたが、それが使用できるかどうかはわかりません。これらのグループは、ある種の設計コードに自然に作用していますか？それとも、それらをより深いレベルで理解するためのより良い方法はありますか？ありがとう！
回答
すべての分野で $F$ アフィン変換のグループがあります
$$x \mapsto ax + b, a \in F^{\times}, b \in F$$
アフィンラインに作用する $\mathbb{A}^1(F)$ （セットとしては $F$）。同等にこれはのグループです$2 \times 2$ 行列
$$\left[ \begin{array}{cc} a & b \\ 0 & a \end{array} \right].$$
有限体上 $F = \mathbb{F}_q$ 非アーベルの家族ができます（ $q = 2$）位数のグループ $q(q - 1)$ の作用から構築された半直積です $\mathbb{F}_q^{\times}$ オン $\mathbb{F}_q$掛け算で。さらに、制限することにより、このグループのサブグループを検討できます。$a$ のサブグループに $F^{\times}$。興味のあるすべてのグループは、この方法で構築できます。
興味のある特定のグループは、 $q = 7$ そして $a$ サブグループにあるように制限されています $(\mathbb{F}_7^{\times})^2$ の正方形要素の $\mathbb{F}_7^{\times}$。それはフロベニウス群であり、そのページによると、ファノ平面にも作用します。