3つの異なる点が与えられた上半平面の自己同型を見つける
仮定します $(x_1,x_2,x_3)$ そして $(y_1,y_2,y_3)$ 実軸上の3つの異なる点の2つのペアです。 $x_2<x_2<x_3$ そして $y_1<y_2<y_3$。（ユニークな）自己同型が存在することを証明する$\phi$ の $\mathbb{H}$ そのため $\phi(x_j)=$
私はすでに独自性の部分を知っており、その存在を証明したいと思います。
そんなこと知ってる $Aut(\mathbb{H})=\{\phi:\phi(z)=\frac{az+b}{cz+d}:a,b,c,d\in\mathbb(R), ad-bc>0\}$。上半平面の自己同型は、私に「スケーリングと共役」を示唆しています$\frac{(z-x_1)(x_2-x_3)}{(z-x_3)(x_2-x_1)}$しかし、私はこれがどのように機能するのか理解していないようです。私は試した$(y_2-y_1)\frac{(z-x_1)(x_2-x_3)}{(x_2-x_1)(z-x_3)}+y_1$ 送信するように $x_1$ に $y_1$ そして $x_2$ に $y_2$ でもなぜ最初に送るのか分かりません $x_3$ に $\infty$。誰かがこの質問を手伝ってくれませんか？ありがとうございました。
回答
アイデアはそれを示すことです
$T(z; x_1, x_2, x_3) = \dfrac{(z-x_1)(x_2-x_3)}{(z-x_3)(x_2-x_1)}$ の自己同型です $\Bbb H$ どのマップ $x_1, x_2, x_3$ に $0, 1, \infty$、それぞれ、および
の自己同型 $\Bbb H$ グループを形成します。
したがって、 $$ T(z; y_1, y_2, y_3)^{-1} \circ T(z; x_1, x_2, x_3) $$ の自己同型です $\Bbb H$ 目的のプロパティで。
リマーク： $\dfrac{(z-x_1)(x_2-x_3)}{(z-x_3)(x_2-x_1)}$、引数のいくつかの並べ替え、いわゆるまでである「クロスレシオ」または「二重の割合」$z, x_1, x_2, x_3$。