[a、-b]チャネルから発生するブラウン運動の予想停止時間

Question

しましょう $W(t)$標準的なブラウン運動である。しましょう$\tau$ 初めて $W(t)$ いずれかのレベルにヒットします」$a$「またはレベル」$-b$"。計算する最も簡単な方法は何ですか$\mathbb{E}[\tau]$？

私はその確率を示すことができます $W(t)$ ヒットレベル "$a$" 前 "$-b$"およびその逆ですが、停止時間の予想を簡単に計算することはできません $\tau$。

その確率を示すために $W(t)$ ヒット "$a$" 前 "$b$"、 私が想定し $\mathbb{E[\tau]}\leq \infty$、Doobのオプションの停止定理により、 $\mathbb{E}[W_{\tau}]=W(0)=0$（つまり、停止したプロセスはマルチンゲールです）。次に：

$$ 0=\mathbb{E}[W_{\tau}]=a*\mathbb{P}(W_{\tau}=a)+ (-b)\mathbb{P}(W_{\tau}=-b) $$

の定義による $\tau$、私たちはそれを持っています $\mathbb{P}(W_{\tau}=a)+\mathbb{P}(W_{\tau}=-b)=1$、 そのため：

$$ a*\mathbb{P}(W_{\tau}=a)+ (-b)\mathbb{P}(W_{\tau}=-b) = \\ = a*\mathbb{P}(W_{\tau}=a)-b(1-\mathbb{P}(W_{\tau}=a)$$

解決する $\mathbb{P}(W_{\tau}=a)$ 与える： $\mathbb{P}(W_{\tau}=a)=\frac{b}{a+b}$

質問1：どうすれば簡単にそれを示すことができますか$\mathbb{E}[\tau]\leq \infty$、Doobのオプションの停止定理を実際に使用できることを確認できるようにするには？

質問2：どのように計算できますか$\mathbb{E}[\tau]$ 可能な限り簡単な方法で？

Answer 1

あなたはおそらくそのプロセスを知っているでしょう（そうでなければ簡単にチェックできます） $X_{t}=B_{t}^{2}-t$ マルチンゲールです。

考えてみましょう。 $n \in \mathbb{N}$、（制限された）停止時間 $$T_{n}=T \wedge n$$

オプションの停止定理をに適用する $T_{n}$ それに注意して $B_{T_{n}} \le \max(a,b)$ そして $T_{n} \le n$

単調収束定理を使用して $$E[T]=\lim_{n\rightarrow \infty}E[T_{n}]= \lim_{n\rightarrow \infty} E[B_{T_{n}}^{2}] \le \max(a^2,b^2)< \infty$$

優収束定理を使用して結論を​​出します $$\lim_{n\rightarrow \infty} E[B_{T_{n}}^{2}] = E[B_{T}^{2}] = a^2 P(B_{T}=a) + b^2 P(B_{T}=b)$$

あなたはすでに知っています。

これはあなたに $E[T]$。