adicスペクトルへの自然なマップ

Question

フィールド上の正規曲線に対応する体上の多元環に関する次の命題を理解するのに苦労しています $k$：

命題：レッツ$C$ フィールド上の正規曲線である $k$ そして $K:=\operatorname{Frac}(A)$ 任意の $\operatorname{Spec}A\subseteq C$ の関数フィールドを示します $C$。自然な地図があります$\nu:C\to \operatorname{Spa}(K,k)$、後者はすべての評価リングのセットです $V$ と $k\subseteq V\subseteq K$ そして $\operatorname{Frac}(V)=K$、 によって定義されます $x\mapsto \mathcal{O}_{C,x}$。

わかります $k\subseteq K$ 以来 $C$ 有限型である $k$ そして私もそれを知っています $C$ 上の正規曲線であること $k$ ことを意味します $\mathcal{O}_{C,x}$ はすべての離散評価環です $x\in C$ 一般的なポイントではありません。

しかし、私は次のことを理解していません：

1. どして $k\subseteq \mathcal{O}_{C,x}\subseteq K$ ホールド？
2. なぜですか $\operatorname{Frac}(A)=\mathcal{O}_{C,\eta}\,,\,$ と $\eta$ の一般的なポイントであること $C$？（これは最初の質問に関連していると思います）

事前にどうもありがとうございました。

Answer 1

これをさらにグーグルしたい場合は、アディックスペクトル $\mathrm{Spa}(K,k)$ より古典的にはリーマン-ザリスキー空間として知られています $\mathrm{RZ}(K,k)$。

あなたの他の質問は、アディック空間、あるいはリーマン-ザリスキー空間、あるいは曲線とは何の関係もありません-それらは積分スキームの研究に関係しているだけです。

だから、 $X$ リング上の積分（=既約+縮小）スキームです $R$。次に、それぞれに注意してください$x$ に $X$ 定義上、

$$\mathcal{O}_{X,x}=\varinjlim\mathcal{O}(U)$$

どこ $U$ オープンな近所の範囲 $U$ の $x$。ただし、それぞれについて注意してください$U$ 構図

$$U\to X\to \mathrm{Spec}(R)$$

特にリングマップを作成します

$$R\to \mathcal{O}(X)\to \mathcal{O}(U)$$

それぞれを与える $\mathcal{O}(U)$ の構造 $R$-代数。明らかに、構造上、トラニションマップ

$$\mathcal{O}(V)\to \mathcal{O}(U)$$

ために $V\subseteq U$ のオープンな近所 $x$ の地図です $R$-代数、したがって、colimitに渡すことにより、次のことがわかります。 $\mathcal{O}_{X,x}$ は $R$-代数。さらに、どんなオープンでも$U$ 因数分解があります

$$R\to \mathcal{O}(U)\to \mathcal{O}_{X,x}$$

地図が $\mathcal{O}(U)\to\mathcal{O}_{X,x}$ の地図です $R$-代数。

さらに、次の場合に注意しましょう。 $y$ 一般化するポイントです $x$ その後、自然地図

$$\mathcal{O}_{X,x}\to\mathcal{O}_{X,y}$$

を含む近隣が $x$ すべてが含まれています $y$ したがって、特に、このマップは明らかに次のマップでもあります。 $R$-代数。

最後に、 $X=\mathrm{Spec}(A)$、その後 $A$ は整域であり、 $\eta$ の一般的なポイントを示します $X$ その後、自然地図

$$A=\mathcal{O}(X)\to \mathcal{O}_{X,\eta}$$

同型を誘発する

$$\mathrm{Frac}(A)\xrightarrow{\approx}\mathcal{O}_{X,\eta}$$

理由は簡単です。つまり、のすべての開いたサブセットが$X$ 含まれています $\eta$ 私たちは、定義上、それを持っています

$$\mathcal{O}_{X,\eta}=\varinjlim_U \mathcal{O}(U)$$

どこ $U$ のすべての開いているサブセットを移動します $X$。しかし、基本的なオープンと見なすことができるオープンの共終システムに対してこの制限を適用するだけで十分です。$D(f)$ ために $f\in A$。だが、$\mathcal{O}(D(f))=A_f$、のローカリゼーション $A$ で $f$、および遷移マップ

$$\mathcal{O}(D(f))\to\mathcal{O}(D(g))$$

ために $D(g)\subseteq D(f)$ インクルージョンです $A_f\hookrightarrow A_g$ （ご了承ください $D(g)\subseteq D(f)$ という意味です $V(g)\supseteq V(f)$ つまり、 $\sqrt{(f)}\subseteq \sqrt{(g)}$ つまり、 $f=g^n a$ いくつかのための $a\in A$、ここから、反転した場合は明らかです $g$ 反転しました $f$ したがって、包含があります $A_g\hookrightarrow A_f$）。しかし、それは明らかです

$$\mathcal{O}_{X,\eta}=\varinjlim_U \mathcal{O}(U)=\varinjlim_{D(f)}\mathcal{O}(D(f))=\varinjlim_f A_f=\mathrm{Frac}(A)$$

望んだ通りに。

だから、 $A=k$ 上記の説明は、一連のマップがあることを示しています

$$k\to \mathcal{O}_{X,x}\to\mathcal{O}_{X,\eta}\cong \mathrm{Frac}(A)$$